Questão 1 (4 pontos). Calcule a derivada da seguinte função:
\sin ^{3} x-3 \sin x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sin^3 x - 3\sin x
e pede sua derivada. O conteúdo aqui é derivada de soma, derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de \sin x.

Passo 2

Para derivar \sin^3 x, note que é uma composição u^3 com u=\sin x. Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin^3 x\bigr) =3\,\sin^2 x\;\frac{d}{dx}(\sin x) =3\,\sin^2 x\cos x.

Passo 3

Para derivar -3\sin x, usamos que \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, logo
\frac{d}{dx}\bigl(-3\sin x\bigr) =-3\cos x.

Passo 4

Somando as duas partes, temos
f'(x)=3\sin^2 x\cos x - 3\cos x.
Fatorando 3\cos x:
f'(x)=3\cos x\bigl(\sin^2 x - 1\bigr).
Como \sin^2 x - 1 = -\cos^2 x, segue
f'(x)=-3\cos x\;\cos^2 x=-3\cos^3 x.

Resposta

f'(x) = -3\cos^3 x.

Exercícios relacionados