Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
g(x, y)=x^{3}+(x-y)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
g(x,y)=x^{3}+(x-y)^{2}.
Iremos calcular as derivadas parciais para achar os pontos onde o gradiente é zero e, em seguida, usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de g:
\frac{\partial g}{\partial x} =3x^{2}+2(x-y) =3x^{2}+2x-2y,
\frac{\partial g}{\partial y} =2(x-y)\cdot(-1) =-2(x-y) =2(y-x).

Passo 3

Resolva o sistema \nabla g=(0,0):
3x^{2}+2x-2y=0, \quad 2(y-x)=0.
Da segunda equação vem y=x. Substituindo na primeira:
3x^{2}+2x-2x=3x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,
logo y=0. Há só um ponto crítico: (0,0).

Passo 4

Forme a matriz Hessiana de g:
H_g(x,y) =\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}g}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}g}{\partial x\partial y}\\[6pt] \frac{\partial^{2}g}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}g}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x+2 & -2\\[4pt] -2 & 2 \end{pmatrix}.
Em (0,0) temos
H_g(0,0) =\begin{pmatrix} 2 & -2\\\\ -2 & 2 \end{pmatrix}.
O determinante é 2\cdot2 -(-2)^{2}=4-4=0, de modo que o teste da Hessiana é inconclusivo.]

Passo 5

Para classificar, observamos g ao longo da reta y=x:
g(x,x)=x^{3}+(x-x)^{2}=x^{3}.
Para x>0, g(x,x)>0; para x<0, g(x,x)<0. Isso mostra que em direções diferentes o valor de g muda de sinal, caracterizando um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é um ponto de sela.

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