Uma chapa metálica fina ocupa a região no primeiro quadrante limitada pelos eixos e pela parábola y=9-x^{2}. A densidade é \rho(x, y)=2 x+y\left(\mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{2}\right).
a) (1,3) Determine a massa total da chapa.
b) (1,4) Calcule o centro de massa (\bar{x}, \bar{y}).

Passo 1

O enunciado descreve uma chapa metálica no primeiro quadrante delimitada pelos eixos x=0, y=0 e pela parábola y=9 - x^{2}. A densidade superficial é
\rho(x,y)=2x + y\quad\bigl(\mathrm{kg}/\mathrm m^{2}\bigr).
Precisamos calcular
  1. a massa total
M = \iint_{D} \rho(x,y)\,dA,
  1. as coordenadas do centro de massa
\bar x = \frac1M \iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar y = \frac1M \iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA.

Passo 2

Para a massa total escrevemos
M = \int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{9 - x^{2}} (2x + y)\,dy\,dx.
Calculemos primeiro a integral interna em y:
\int_{0}^{9 - x^{2}} (2x + y)\,dy = 2x\,(9 - x^{2}) + \frac{(9 - x^{2})^{2}}{2}.
Logo
M = \int_{0}^{3}\!\Bigl[\,18x - 2x^{3} + \tfrac12\bigl(81 - 18x^{2} + x^{4}\bigr)\Bigr]\,dx = \int_{0}^{3}\bigl(40{,}5 + 18x - 9x^{2} -2x^{3} + 0{,}5x^{4}\bigr)\,dx.
Integral em x de 0 a 3 resulta em
M = 105{,}3\quad\mathrm{kg},
ou seja
M = \frac{1053}{10}\,\mathrm{kg}.

Passo 3

Para \bar x precisamos do momento em torno do eixo y:
I_x = \iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA = \int_{0}^{3}\int_{0}^{9-x^{2}}\bigl(2x^{2} + x\,y\bigr)\,dy\,dx.
A integral em y é
\int_{0}^{9 - x^{2}}(2x^{2} + x\,y)\,dy = 2x^{2}(9 - x^{2}) + \tfrac{x\,(9 - x^{2})^{2}}{2},
e integrando em x de 0 a 3 obtém-se
I_x = 125{,}55.
Portanto
\bar x = \frac{I_x}{M} = \frac{125{,}55}{105{,}3} = \frac{31}{26}\approx1{,}1923.

Passo 4

Para \bar y precisamos do momento em torno do eixo x:
I_y = \iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA = \int_{0}^{3}\int_{0}^{9-x^{2}}\bigl(2x\,y + y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
A integral em y leva a
\int_{0}^{9 - x^{2}}\!(2x\,y + y^{2})\,dy = x\,(9 - x^{2})^{2} + \frac{(9 - x^{2})^{3}}{3},
e integrando em x de 0 a 3 obtemos
I_y = 454{,}757143.
Logo
\bar y = \frac{I_y}{M} = \frac{454{,}757143}{105{,}3} = \frac{393}{91}\approx4{,}3187.

Resposta

(a) M = \tfrac{1053}{10}\,\mathrm{kg}\approx105{,}3 kg.
(b) \displaystyle \bar x = \frac{31}{26}\approx1{,}1923,\quad \bar y = \frac{393}{91}\approx4{,}3187.

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