Série de Laurent de \frac{z+1}{z}, z_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent de
f(z)=\frac{z+1}{z}
em torno de z_{0}=0.
O conteúdo aqui é a expansão de uma função meromorfa num ponto singular isolado usando a definição de série de Laurent:
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\,(z-0)^{n}.

Passo 2

Para escrever f(z) como soma de potências de z, fazemos a divisão direta em dois termos:
\frac{z+1}{z}=\frac{z}{z}+\frac{1}{z}=1+\frac{1}{z}.
Aqui já identificamos um termo de ordem z^{0} (que é 1) e um termo de ordem z^{-1} (que é 1/z).

Passo 3

Concluímos que não há mais termos de ordem superior ou inferior. Logo a série de Laurent em torno de 0, válida para 0<|z|<\infty, é
f(z)=\sum_{n=-1}^{0}a_{n}z^{n}
com
a_{-1}=1,\quad a_{0}=1,
ou seja,
f(z)=\frac{1}{z}+1.

Resposta

\frac{z+1}{z}=1+\frac{1}{z},
que é a série de Laurent em torno de z_{0}=0 (para 0<|z|<\infty).

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