A superfície z=x^{2}+y^{2}, limitada por x^{2}+y^{2} \leq 9, representa uma antena parabólica exposta à radiação solar perpendicular.
a) (1,5) Calcule a área da superfície.
b) (0,5) Sabendo que a taxa de absorção da radiação é de 12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, calcule a energia total absorvida.

Passo 1

O enunciado dá a superfície parabólica z = x^2 + y^2 limitada pelo disco x^2 + y^2 \le 9.
a) Pede a área dessa superfície.
b) Sabe-se que a antena absorve radiação a 12,W/m ^2; pede a energia total absorvida.
Conteúdo: área de superfície de gráfico e aplicação de integral dupla em coordenadas polares.

Passo 2

Para uma superfície dada por z = f(x,y), a área é
A = \iint_{D} \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dA.
Aqui f(x,y)=x^2+y^2, então
f_x = 2x,\qquad f_y = 2y
e o integrando fica
\sqrt{1 + (2x)^2 + (2y)^2} = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}.

Passo 3

Passamos a coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta, \quad 0\le r\le 3,\\\ 0\le\theta\le 2\pi.
Logo
A = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3} \sqrt{1+4r^2}\;r\,dr\,d\theta = 2\pi\int_{0}^{3} r\sqrt{1+4r^2}\,dr.

Passo 4

Calcule o integral radial
I = \int_{0}^{3} r\sqrt{1+4r^2}\,dr.
Use u = 1+4r^2, du = 8r\,dr, logo r\,dr = du/8. Quando r=0, u=1; quando r=3, u=37. Então
I = \int_{u=1}^{37} \frac{\sqrt{u}}{8}\,du = \frac{1}{8}\,\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{37} = \frac{1}{12}\bigl(37^{3/2}-1\bigr).

Passo 5

Substituindo em A = 2\pi\,I, obtemos
A = 2\pi\cdot\frac{1}{12}\bigl(37^{3/2}-1\bigr) = \frac{\pi}{6}\bigl(37^{3/2}-1\bigr) \approx 117{,}3\\ \text{m}^2.

Passo 6

A taxa de absorção é 12,W/m ^2, logo a potência total absorvida é
P = 12 \cdot A = 12\;\frac{\pi}{6}\bigl(37^{3/2}-1\bigr) = 2\pi\bigl(37^{3/2}-1\bigr) \approx 1407{,}6\\ \text{W}.

Resposta

a) \displaystyle A = \frac{\pi}{6}\bigl(37^{3/2}-1\bigr)\approx 117{,}3\\ \text{m}^2.
b) \displaystyle P = 2\pi\bigl(37^{3/2}-1\bigr)\approx 1407{,}6\\ \text{W}.

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