(2,0) Seja R a região limitada por:
y=x^{2},
y=2 x,
x=2.
Calcule:
\iint_{R}(2 x+y) d A

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R}(2x+y)\,dA
onde R é a região do plano limitada pelas curvas
y=x^{2},\quad y=2x,\quad x=2.
O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas, usando integrais iteradas.

Passo 2

Para descrever R em termos de integrais iteradas, encontramos a projeção sobre o eixo x. As curvas y=x^{2} e y=2x se interceptam quando
x^{2}=2x\;\Longrightarrow\;x(x-2)=0\;\Longrightarrow\;x=0\text{ ou }x=2.
Como também há a reta vertical x=2, a região tem x variando de 0 a 2. Para cada x fixo, y vai de baixo para cima, ou seja, de y=x^{2} até y=2x.

Passo 3

Montamos então a integral iterada
\iint_{R}(2x+y)\,dA =\int_{x=0}^{2}\!\Bigl(\int_{y=x^{2}}^{2x}(2x+y)\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{2x}(2x+y)\,dy =\Bigl[\,2x\,y+\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{y=x^{2}}^{y=2x} = \bigl(2x\cdot2x+\tfrac{(2x)^{2}}{2}\bigr) - \bigl(2x\cdot x^{2}+\tfrac{(x^{2})^{2}}{2}\bigr).
Simplificando,
2x\cdot2x=4x^{2},\quad\tfrac{(2x)^{2}}{2}=\tfrac{4x^{2}}{2}=2x^{2} \quad\Rightarrow\; 4x^{2}+2x^{2}=6x^{2},
2x\cdot x^{2}=2x^{3},\quad\tfrac{(x^{2})^{2}}{2}=\tfrac{x^{4}}{2},
logo a interna vale
6x^{2}-\bigl(2x^{3}+\tfrac{x^{4}}{2}\bigr) =6x^{2}-2x^{3}-\tfrac{x^{4}}{2}.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2}\Bigl(6x^{2}-2x^{3}-\tfrac{x^{4}}{2}\Bigr)\,dx =\Bigl[\,6\cdot\tfrac{x^{3}}{3}-2\cdot\tfrac{x^{4}}{4}-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{x^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{2} =\Bigl[\,2x^{3}-\tfrac{x^{4}}{2}-\tfrac{x^{5}}{10}\Bigr]_{0}^{2}.
Avaliando em x=2:
2\cdot2^{3}-\tfrac{2^{4}}{2}-\tfrac{2^{5}}{10} =2\cdot8-\tfrac{16}{2}-\tfrac{32}{10} =16-8-3{,}2 =4{,}8 =\tfrac{24}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{24}{5}

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