(1,0) Determine o volume do sólido limitado superiormente por z=16-4 x^{2}-y^{2} e inferiormente por \mathrm{z}=0, sobre o retângulo R=[-1,1] \times[-2,2].

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido situado entre o plano \mathrm{z}=0 e o paraboloide
\mathrm{z}=16-4x^{2}-y^{2}
quando (x,y) varia no retângulo
R=[-1,1]\times[-2,2].
Para encontrar esse volume, vamos usar uma integral dupla de
f(x,y)=16-4x^{2}-y^{2}
sobre R.

Passo 2

Primeiro, notamos que em todo R vale
16-4x^{2}-y^{2}\ge16-4\cdot1 - (2)^{2}=8>0,
logo a região está completamente acima de z=0. O volume é
V=\iint_{R}\bigl(16-4x^{2}-y^{2}\bigr)\,dA =\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-2}^{2}\bigl(16-4x^{2}-y^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral interna em y:
\int_{y=-2}^{2}(16-4x^{2}-y^{2})\,dy =\int_{-2}^{2}(16-4x^{2})\,dy \;-\;\int_{-2}^{2}y^{2}\,dy.
Como \displaystyle\int_{-2}^{2}(16-4x^{2})\,dy=4\,(16-4x^{2}) e
\displaystyle\int_{-2}^{2}y^{2}\,dy=\frac{2^{3}-(-2)^{3}}{3}=\frac{16}{3}, temos
\int_{-2}^{2}(16-4x^{2}-y^{2})\,dy =64-16x^{2}-\frac{16}{3} =\frac{176}{3}-16x^{2}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{x=-1}^{1}\Bigl(\frac{176}{3}-16x^{2}\Bigr)\,dx =\frac{176}{3}\cdot2 -16\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx =\frac{352}{3}-16\cdot\frac{2}{3} =\frac{320}{3}.

Resposta

V=\frac{320}{3}.

Exercícios relacionados