Uma chapa metálica quadrada de 50 cm de lado e emissividade 0,8 deve ser mantida a 300^{\circ} \mathrm{C}, através de aquecimento elétrico, em um ambiente onde as paredes e o ar estão a 25^{\circ} \mathrm{C}. Estimando o coeficiente de convecção por sobre a face exposta da placa igual a 30 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right) e considerando que a outra face está perfeitamente isolada, determinar a potência do módulo de aquecimento.

Passo 1

O problema é um balanço de energia para manter uma chapa quadrada de lado 50\\ \mathrm{cm} à temperatura constante de 300^\circ\mathrm{C}, em ambiente a 25^\circ\mathrm{C}. A chapa perde calor por convecção e radiação numa única face (a outra está isolada) e temos emissividade \varepsilon=0,8 e coeficiente de convecção h=30\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}. Vamos calcular a potência elétrica igual à soma dessas duas perdas.

Passo 2

Calculamos a área da face exposta e convertemos temperaturas para Kelvin:
L = 0,50\\ \mathrm{m}
A = L^2 = (0,50)^2 = 0,25\\ \mathrm{m^2}
T_s = 300^\circ\mathrm{C} = 300 + 273 = 573\\ \mathrm{K}
T_\infty = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273 = 298\\ \mathrm{K}

Passo 3

Perda por convecção é dada por
Q_{\mathrm{conv}} = h\,A\,(T_s - T_\infty).
Substituindo:
Q_{\mathrm{conv}} = 30 \times 0,25 \times (573 - 298) = 30 \times 0,25 \times 275 = 2\,062{,}5\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Perda por radiação é
Q_{\mathrm{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T_s^4 - T_\infty^4),
com \sigma = 5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2\,K^4)}. Calculando:
T_s^4 = 573^4 \approx 1,0778\times10^{11},\quad T_\infty^4 = 298^4 \approx 7,888\times10^9,
\Delta T^4 = 1,0778\times10^{11} - 7,888\times10^9 = 9,9892\times10^{10},
Q_{\mathrm{rad}} = 0,8 \times 5{,}67\times10^{-8} \times 0,25 \times 9,9892\times10^{10} \approx 1\,133\\ \mathrm{W}.

Passo 5

A potência elétrica necessária é a soma
P = Q_{\mathrm{conv}} + Q_{\mathrm{rad}} = 2\,062{,}5 + 1\,133 \approx 3\,195{,}5\\ \mathrm{W}.

Resposta

A potência do módulo de aquecimento deve ser aproximadamente 3{,}20\\ \mathrm{kW}.

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