Em um experimento sobre radiação térmica, um corpo de prova na forma de um longo cilindro maciço de 1 cm de diâmetro é mantido a uma temperatura de 350^{\circ} \mathrm{C} no interior de uma grande caixa a vácuo cujas paredes estão a 50^{\circ} \mathrm{C}. As condições experimentais foram planejadas para que as superfícies do cilindro e da caixa possam ser consideradas com comportamento de corpo negro. Determinar a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento entre o cilindro e a caixa. Resposta: 248,8 \mathrm{~W} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado descreve um longo cilindro maciço de diâmetro 1\,\mathrm{cm} mantido a 350^\circ\mathrm{C} dentro de uma caixa a vácuo cujas paredes estão a 50^\circ\mathrm{C}. Ambas as superfícies são corpos negros. O objetivo é determinar a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento entre cilindro e caixa. O conteúdo necessário é a Lei de Stefan–Boltzmann para troca radiativa entre superfícies concêntricas negras.

Passo 2

Para duas superfícies concêntricas e negras ( \epsilon=1), o fluxo líquido de radiação é dado por
\dot q' = \sigma\,A'\,\bigl(T_1^4 - T_2^4\bigr)
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, A' é a área externa do cilindro por unidade de comprimento e T_1, T_2 são as temperaturas absolutas do cilindro e da caixa, respectivamente.

Passo 3

Primeiro convertemos os dados para o SI e Kelvin:
D = 1\,\mathrm{cm} = 0{,}01\,\mathrm{m}, \quad T_1 = 350^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 623{,}15\,\mathrm{K}, \quad T_2 = 50^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 323{,}15\,\mathrm{K}.
A área por unidade de comprimento do cilindro é
A' = \pi D = \pi\times0{,}01 = 0{,}0314159\;\mathrm{m^2/m}.

Passo 4

Calculamos a diferença das quartas potências das temperaturas:
T_1^4 = (623{,}15)^4 \approx 1{,}5074\times10^{11}\,\mathrm{K^4}, \quad T_2^4 = (323{,}15)^4 \approx 1{,}0909\times10^{10}\,\mathrm{K^4},
T_1^4 - T_2^4 \approx 1{,}3983\times10^{11}\,\mathrm{K^4}.

Passo 5

Usando \sigma = 5,67\times10^{-8}\,\mathrm{W/m^2\,K^4}, obtemos
\dot q' = \sigma\,A'\,\bigl(T_1^4 - T_2^4\bigr) = 5{,}67\times10^{-8}\times0{,}0314159\times1{,}3983\times10^{11} \approx 248{,}8\;\mathrm{W/m}.

Resposta

\dot q' = 248{,}8\;\mathrm{W/m}.

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