([CHAPRA, 2008], Problema 13.11 - adaptado) Considere a seguinte função:
Faça 5 iterações da interpolação quadrática para localizar o mínimo. Comente sobre a convergência dos seus resultados (
).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu faça 5 iterações da interpolação quadrática (parabolização) para localizar o mínimo, usando os pontos iniciais
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é gerar cinco novos aproximantes (cada iteração produz um novo
pela interpolação quadrática) e comentar sobre a convergência dos resultados.
Passo 2
Ideia da interpolação quadrática (o que estamos fazendo e por quê).
Queremos aproximar a função por uma parábola que passa pelos três pontos e então tomar o vértice dessa parábola como a estimativa do mínimo. Isso é razoável quando a função é suave e quase convexa localmente — aqui, para
,
, então
é convexa e tem um único mínimo, ótimo cenário.
Queremos aproximar a função por uma parábola que passa pelos três pontos
Fórmula prática (derivada de interpolação de Lagrange): se os pontos são
com valores
, o minimizador da parábola interpoladora é dado por
Explico as partes:
-
são as abscissas dos três pontos usados. -
é o valor da função em . - O numerador e denominador vêm de escrever a parábola por interpolação e resolver
.
Essa fórmula é algebraicamente equivalente à outra forma com diferenças que você pode ver em livros, mas é direta para cálculo manual (basta calcular, e os somatórios).
Passo 3
Como vou aplicar as iterações (regra de atualização): vou usar a sequência natural em que cada iteração usa os três pontos mais recentes — isto é, dados
calculo
pela fórmula acima e em seguida avanço a janela para
. Essa escolha é determinística, simples de aplicar à mão e é uma forma habitual de realizar a interpolação quadrática sequencialmente.
Antes de começar, calculo os valores iniciais
nos pontos dados (pois vamos usá-los repetidamente):
Calculemos:
Passo 4
Usamos a fórmula com
e
.
Calculemos numerador
e denominador
:
Substituindo números:
Logo
Agora calculo
:
Resumo da iteração 1:
Passo 5
Avanço a janela: usamos agora
com valores
.
Calculo
e
como antes (substituindo os números; mostro os principais passos numéricos):
Aplicando a fórmula (fazendo as contas com atenção):
Assim
E o valor da função:
Passo 6
Avanço a janela para
com
-valores aproximados
.
Calculando
e
(cálculos numéricos mostrados resumidamente):
portanto
E
Passo 7
Avanço a janela para
com respectivos
-valores
.
Cálculo (resumo numérico):
o que dá
Note que aqui a parábola interpoladora fornece um mínimo bem à esquerda — isso ocorre porque os três pontos são relativamente próximos e a parábola pode ficar inclinada de forma que o vértice caia fora da região entre os dois valores menores; é um efeito numérico/geométrico da interpolação.
Calculo do valor da função:
Passo 8
Avanço a janela para
com
-valores
.
Cálculos numéricos resumidos:
portanto
E
Passo 9
- Para referência, o mínimo exato (resolvendo
) é: - A sequência de aproximações que obtivemos (cada iteração produz
) foi, aproximadamente: - Observação sobre o comportamento: a interpolação quadrática aqui apresenta um comportamento oscilatório. em algumas iterações a parábola interpoladora coloca o vértice bem à esquerda (como em
), depois volta para a região próxima do mínimo real (como ). Isso é tipicamente causado por: - a interpolação por parábola se ajusta exatamente aos três pontos; se esses pontos estão dispostos de forma que a parábola tem vértice fora da região de interesse, o novo ponto pode “pular” longe;
- erros de arredondamento e a geometria dos pontos podem amplificar oscilações.
- Conclusão prática: a interpolação quadrática pode convergir para o mínimo, mas sem estratégias adicionais (como restringir o passo, forçar que o novo ponto fique dentro de um intervalo ou usar combinações com busca em linha/metrodo de Brent) ela pode oscilar e ser instável. Aqui, após 5 iterações vimos oscilações ao redor do mínimo verdadeiro
— não houve convergência monótona, mas os valores voltaram a se aproximar do mínimo depois do salto.
Resposta
Comentário final sobre convergência: a sequência é oscilatória e não converge monotonamente; a interpolação quadrática sozinha pode saltar e voltar, aproximando-se intermitentemente do mínimo exato
.