Utilize o método de Newton-Raphson para encontrar a solução desse sistema de equações não-lineares, para isso use as aproximações iniciais de [\mathrm{v} 0]=[\mathrm{x} 0=0, \mathrm{y} 0=0] e depois de 5 iterações verifique os resultados substituindo nas equações originais.
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o método de Newton-Raphson para o sistema não-linear dado, usando a aproximação inicial [\mathrm{v}_0]=[x_0=0,\;y_0=0], realizar 5 iterações e, depois, verificar os resultados substituindo-os nas equações originais.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
\begin{cases} -8\Delta x - \Delta y = 8,\\[4pt] -4\Delta x -8\Delta y = 16. \end{cases}
Multiplicando a segunda equação por 2\] e subtraindo a primeira:
\[(-8\Delta x -16\Delta y)-(-8\Delta x -\Delta y)=32-8\Rightarrow -15\Delta y=24\Rightarrow \Delta y=-\tfrac{8}{5}=-1{,}6.\]
Substituindo em \(-8\Delta x -\Delta y=8:
-8\Delta x -(-1{,}6)=8\Rightarrow -8\Delta x=6{,}4\Rightarrow \Delta x=-0{,}8.
\begin{cases} -4{,}8\Delta x - \Delta y = 1{,}28,\\[4pt] -4\Delta x -4{,}8\Delta y = 2{,}56. \end{cases}
Da primeira equação isolamos (\Delta y=-4{,}8\Delta x-1{,}28] e substituímos na segunda: -4\Delta x -4{,}8(-4{,}8\Delta x-1{,}28)=2{,}56.
Calculando: -4\Delta x +23{,}04\Delta x +6{,}144 = 2{,}56 \Rightarrow 19{,}04\Delta x = -3{,}584
\Rightarrow \Delta x = -\frac{3{,}584}{19{,}04} = -\frac{112}{595}\approx -0{,}1882352941.
Observe que os valores estão extremamente próximos de (1,2); isto é sinal de convergência rápida (convergência quadrática típica do método de Newton quando perto da solução).]
Passo 8
Substituímos \mathbf{v}_5\approx(0{,}999999977,\;1{,}999999954) em f e g:
Calcular f(\mathbf{v}_5)=4-y-2x^{2}. Usando as aproximações:
g(\mathbf{v}_5)\approx 8-3{,}999999816-3{,}999999908\approx 2{,}76\times10^{-7}\\ (\text{próximo de }0).ó
Os resíduos são da ordem 10^{-7}, ou seja, essencialmente zero na precisão habitual — confirmando que (1,2) é a solução e que após 5 iterações o método já chegou muito perto dela (na verdade a solução exata é (1,2), pois substituindo (1,2) nas equações originais obtemos exatamente zeros).
Resposta
(x,y)\approx(0{,}999999977,\;1{,}999999954) (após 5 iterações; converge para (1,2)). f(x,y)\approx1{,}38\times10^{-7},\; g(x,y)\approx2{,}76\times10^{-7} (resíduos ao substituir \mathbf{v}_5).