([CHAPRA, 2008], Problema 11.16 - adaptado) Dado o par de equações simultâneas não-lineares:
\begin{aligned} & f(x, y)=4-y-2 x^{2} \\\ & g(x, y)=8-y^{2}-4 x \end{aligned}
Utilize o método de Newton-Raphson para encontrar a solução desse sistema de equações não-lineares, para isso use as aproximações iniciais de [\mathrm{v} 0]=[\mathrm{x} 0=0, \mathrm{y} 0=0] e depois de 5 iterações verifique os resultados substituindo nas equações originais.

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o método de Newton-Raphson para o sistema não-linear dado, usando a aproximação inicial [\mathrm{v}_0]=[x_0=0,\;y_0=0], realizar 5 iterações e, depois, verificar os resultados substituindo-os nas equações originais.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
\begin{aligned} & f(x,y)=4-y-2x^{2},\\[4pt] & g(x,y)=8-y^{2}-4x,\\[4pt] & \text{aproximação inicial } \mathrm{v}_0=(0,0). \end{aligned}çã]

Passo 2

O método de Newton-Raphson para um sistema de duas equações F(\mathbf{v})=\mathbf{0}, com \mathbf{v}=(x,y)^{T}, usa iterações da forma
\mathbf{v}_{k+1}=\mathbf{v}_k+\Delta\mathbf{v}_k,
onde \Delta\mathbf{v}_k é solução do sistema linear
J(\mathbf{v}_k)\,\Delta\mathbf{v}_k=-F(\mathbf{v}_k).
Aqui F(\mathbf{v})=\begin{pmatrix}f(x,y)\\[4pt] g(x,y)\end{pmatrix} e J é a matriz Jacobiana cujas entradas são derivadas parciais:
J(x,y)=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y} \end{pmatrix}.
Para as funções dadas calculamos as derivadas:
\frac{\partial f}{\partial x}=-4x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-1,
\frac{\partial g}{\partial x}=-4,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=-2y.
Logo
J(x,y)=\begin{pmatrix}-4x & -1\\[4pt]-4 & -2y\end{pmatrix}.
Procedimento prático em cada iteração:
  1. Calcular F(\mathbf{v}_k) e J(\mathbf{v}_k).
  2. Resolver o 2\times2 linear J(\mathbf{v}_k)\Delta\mathbf{v}_k=-F(\mathbf{v}_k) (p.ex. eliminação ou regra de Cramer).
  3. Atualizar \mathbf{v}_{k+1}=\mathbf{v}_k+\Delta\mathbf{v}_k.
Agora aplicamos estes passos a partir de \mathbf{v}_0=(0,0) para obter cinco iterações.]

Passo 3

Começando em \mathbf{v}_0=(0,0).
  1. Avaliar F(\mathbf{v}_0):
f(0,0)=4-0-2\cdot0^{2}=4,\quad g(0,0)=8-0-4\cdot0=8.
Logo F(\mathbf{v}_0)=\begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}.
  1. Avaliar J(\mathbf{v}_0):
J(0,0)=\begin{pmatrix}-4\cdot0 & -1\\[4pt]-4 & -2\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]-4 & 0\end{pmatrix}.
  1. Resolver J\,\Delta\mathbf{v}_0=-F(\mathbf{v}_0), isto é
\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]-4 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\Delta x\\[4pt]\Delta y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\[4pt]-8\end{pmatrix}.
Da primeira linha: -\Delta y=-4\Rightarrow \Delta y=4.
Da segunda linha: -4\Delta x=-8\Rightarrow \Delta x=2.
  1. Atualizar:
\mathbf{v}_1=\mathbf{v}_0+\Delta\mathbf{v}_0=(0,0)+(2,4)=(2,4).]

Passo 4

Agora [\mathbf{v}_1=(2,4)).
  1. Avaliar F(\mathbf{v}_1):
f(2,4)=4-4-2\cdot 2^{2}=0-8=-8,
g(2,4)=8-4^{2}-4\cdot2=8-16-8=-16.
Logo F(\mathbf{v}_1)=\begin{pmatrix}-8\\[4pt]-16\end{pmatrix}.
  1. Avaliar J(\mathbf{v}_1):
J(2,4)=\begin{pmatrix}-4\cdot2 & -1\\[4pt]-4 & -2\cdot4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-8 & -1\\[4pt]-4 & -8\end{pmatrix}.
  1. Resolver J\,\Delta\mathbf{v}_1=-F(\mathbf{v}_1)=(8,16)^{T}:
\begin{cases} -8\Delta x - \Delta y = 8,\\[4pt] -4\Delta x -8\Delta y = 16. \end{cases}
Multiplicando a segunda equação por 2\] e subtraindo a primeira: \[(-8\Delta x -16\Delta y)-(-8\Delta x -\Delta y)=32-8\Rightarrow -15\Delta y=24\Rightarrow \Delta y=-\tfrac{8}{5}=-1{,}6.\] Substituindo em \(-8\Delta x -\Delta y=8:
-8\Delta x -(-1{,}6)=8\Rightarrow -8\Delta x=6{,}4\Rightarrow \Delta x=-0{,}8.
  1. Atualizar:
\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_1+\Delta\mathbf{v}_1=(2,4)+(-0{,}8,-1{,}6)=(1{,}2,\;2{,}4).]

Passo 5

Agora [\mathbf{v}_2=(1{,}2,;2{,}4)).
  1. Avaliar F(\mathbf{v}_2):
f(1{,}2,2{,}4)=4-2{,}4-2\cdot(1{,}2)^{2}=1{,}6-2\cdot1{,}44=1{,}6-2{,}88=-1{,}28,
g(1{,}2,2{,}4)=8-(2{,}4)^{2}-4\cdot1{,}2=8-5{,}76-4{,}8=-2{,}56.
Então F(\mathbf{v}_2)=\begin{pmatrix}-1{,}28\\[4pt]-2{,}56\end{pmatrix}.
  1. Avaliar J(\mathbf{v}_2):
J(1{,}2,2{,}4)=\begin{pmatrix}-4\cdot1{,}2 & -1\\[4pt]-4 & -2\cdot2{,}4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4{,}8 & -1\\[4pt]-4 & -4{,}8\end{pmatrix}.
  1. Resolver J\,\Delta\mathbf{v}_2=-F(\mathbf{v}_2)=(1{,}28,\;2{,}56)^{T}:
\begin{cases} -4{,}8\Delta x - \Delta y = 1{,}28,\\[4pt] -4\Delta x -4{,}8\Delta y = 2{,}56. \end{cases}
Da primeira equação isolamos (\Delta y=-4{,}8\Delta x-1{,}28] e substituímos na segunda:
-4\Delta x -4{,}8(-4{,}8\Delta x-1{,}28)=2{,}56.
Calculando:
-4\Delta x +23{,}04\Delta x +6{,}144 = 2{,}56 \Rightarrow 19{,}04\Delta x = -3{,}584
\Rightarrow \Delta x = -\frac{3{,}584}{19{,}04} = -\frac{112}{595}\approx -0{,}1882352941.
Então
\Delta y=-4{,}8\Delta x-1{,}28=-4{,}8\left(-\tfrac{112}{595}\right)-1{,}28=-\tfrac{224}{595}\approx -0{,}3764705882.
  1. Atualizar (usando as frações exatas que encontramos):
\mathbf{v}_3=\mathbf{v}_2+\Delta\mathbf{v}_2 =\Big(\tfrac{714}{595}-\tfrac{112}{595},\;\tfrac{1428}{595}-\tfrac{224}{595}\Big) =\Big(\tfrac{602}{595},\;\tfrac{1204}{595}\Big) \approx(1{,}0117647059,\;2{,}0235294118).]

Passo 6

Agora \mathbf{v}_3=\big(\tfrac{602}{595},\tfrac{1204}{595}\big)\approx(1{,}011764706,\;2{,}023529412).
  1. Avaliar F(\mathbf{v}_3) (valores exatos em frações calculados e aqui apresentados em aproximação decimal):
F(\mathbf{v}_3)\approx\begin{pmatrix}-0{,}070845\\[4pt]-0{,}141690\end{pmatrix}.
  1. Avaliar J(\mathbf{v}_3):
J(\mathbf{v}_3)\approx\begin{pmatrix}-4{,}049579832 & -1\\[4pt]-4 & -4{,}049579832\end{pmatrix}.
  1. Resolver J\,\Delta\mathbf{v}_3=-F(\mathbf{v}_3)\approx(0{,}070845,\;0{,}141690)^{T}. Resolvendo o 2\times2 (eliminação ou fórmula fechada) obtém-se, numericamente,
\Delta\mathbf{v}_3\approx(-0{,}01171875,\;-0{,}0234375).
  1. Atualizar:
\mathbf{v}_4=\mathbf{v}_3+\Delta\mathbf{v}_3\approx(1{,}011764706-0{,}01171875,\;2{,}023529412-0{,}0234375) \approx(1{,}000046,\;2{,}000091912).]

Passo 7

Agora \mathbf{v}_4\approx(1{,}000045956,\;2{,}000091912).
  1. Avaliar F(\mathbf{v}_4) (valores aproximados):
F(\mathbf{v}_4)\approx\begin{pmatrix}-2{,}75736\times10^{-4}\\[4pt]-5{,}51472\times10^{-4}\end{pmatrix}.
  1. Avaliar J(\mathbf{v}_4)\approx\begin{pmatrix}-4{,}000183824 & -1\\[4pt]-4 & -4{,}000183824\end{pmatrix}.
  2. Resolver J\,\Delta\mathbf{v}_4=-F(\mathbf{v}_4) numericamente; obtém-se
\Delta\mathbf{v}_4\approx(-4{,}5979\times10^{-5},\;-9{,}1958\times10^{-5}).
  1. Atualizar:
\mathbf{v}_5=\mathbf{v}_4+\Delta\mathbf{v}_4\approx(1{,}000045956-0{,}000045979,\;2{,}000091912-0{,}000091958)\approx(0{,}999999977,\;1{,}999999954).
Observe que os valores estão extremamente próximos de (1,2); isto é sinal de convergência rápida (convergência quadrática típica do método de Newton quando perto da solução).]

Passo 8

Substituímos \mathbf{v}_5\approx(0{,}999999977,\;1{,}999999954) em f e g:
  1. Calcular f(\mathbf{v}_5)=4-y-2x^{2}. Usando as aproximações:
x^{2}\approx(0{,}999999977)^{2}\approx0{,}999999954,\qquad 2x^{2}\approx1{,}999999908,
4-y\approx 4-1{,}999999954=2{,}000000046,
f(\mathbf{v}_5)\approx 2{,}000000046-1{,}999999908\approx 1{,}38\times10^{-7}\\ (\text{próximo de }0).ó
  1. Calcular g(\mathbf{v}_5)=8-y^{2}-4x:
y^{2}\approx(1{,}999999954)^{2}\approx3{,}999999816,\qquad 4x\approx3{,}999999908,
g(\mathbf{v}_5)\approx 8-3{,}999999816-3{,}999999908\approx 2{,}76\times10^{-7}\\ (\text{próximo de }0).ó
Os resíduos são da ordem 10^{-7}, ou seja, essencialmente zero na precisão habitual — confirmando que (1,2) é a solução e que após 5 iterações o método já chegou muito perto dela (na verdade a solução exata é (1,2), pois substituindo (1,2) nas equações originais obtemos exatamente zeros).

Resposta

(x,y)\approx(0{,}999999977,\;1{,}999999954) (após 5 iterações; converge para (1,2)).
f(x,y)\approx1{,}38\times10^{-7},\; g(x,y)\approx2{,}76\times10^{-7} (resíduos ao substituir \mathbf{v}_5).

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