([CHAPRA, 2008], Problema 9.9) Use eliminação de Gauss para resolver:
\begin{aligned} & 8 x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=-2 \\\ & 10 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=4 \\\ & 12 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=6 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações com três incógnitas e pede para encontrar x_{1}, x_{2} e x_{3}:
\begin{aligned} & 8 x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=-2 \\\ & 10 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=4 \\\ & 12 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=6 \end{aligned}
Informações relevantes fornecidas:
\text{Coeficientes e termos independentes:}
\begin{array}{cccc} \text{linha 1:} & 8,& 2,& -2 \mid -2 \\\ \text{linha 2:} & 10,& 2,& 4 \mid 4 \\\ \text{linha 3:} & 12,& 2,& 2 \mid 6 \end{array}
O objetivo é resolver esse sistema usando eliminação de Gauss (transformar a matriz aumentada por operações elementares até uma forma triangular e então fazer substituição regressiva).

Passo 2

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema para trabalhar de forma organizada. A matriz aumentada é a matriz dos coeficientes com uma coluna extra dos termos independentes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 8 & 2 & -2 & -2\\[4pt] 10 & 2 & 4 & 4\\[4pt] 12 & 2 & 2 & 6 \end{array}\right]
Cada linha corresponde a uma equação; operações nas linhas correspondem a aplicar as mesmas transformações nas equações. As operações permitidas (que mantêm o sistema equivalente) são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e somar a uma linha um múltiplo de outra linha.]

Passo 3

Escolhemos como pivô inicial o elemento \,8 da primeira linha (posição 1,1). Nosso objetivo nesta etapa é zerar as entradas abaixo desse pivô (nas linhas 2 e 3) para eliminar x_{1} nessas linhas.
Para zerar o elemento abaixo do pivô na linha 2, calculamos o múltiplo apropriado:
\text{múltiplo para linha 2}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}.ú
Aplicamos a operação
\text{linha 2} \leftarrow \text{linha 2} - \frac{5}{4}\times\text{linha 1}.

Passo 4

Executando a operação da linha 2 componente a componente (vou mostrar cada cálculo):
  • Primeiro elemento: 10 - \frac{5}{4}\cdot 8 = 10 - 10 = 0.
  • Segundo elemento: 2 - \frac{5}{4}\cdot 2 = 2 - \frac{5}{2} = \frac{4}{2}-\frac{5}{2} = -\frac{1}{2}.
  • Terceiro elemento: 4 - \frac{5}{4}\cdot(-2) = 4 + \frac{5}{2} = \frac{8}{2}+\frac{5}{2} = \frac{13}{2}.
  • Termo independente: 4 - \frac{5}{4}\cdot(-2) = 4 + \frac{5}{2} = \frac{13}{2}.
Portanto a nova linha 2 fica:
\left[0,\; -\tfrac{1}{2},\; \tfrac{13}{2}\; \mid\; \tfrac{13}{2}\right].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 8 & 2 & -2 & -2\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{13}{2} & \tfrac{13}{2}\\[4pt] 12 & 2 & 2 & 6 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora vamos zerar o elemento da coluna 1 na linha 3. O múltiplo para eliminar é
\text{múltiplo para linha 3}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.ú
Aplicamos
\text{linha 3} \leftarrow \text{linha 3} - \frac{3}{2}\times\text{linha 1}.

Passo 6

Executando a operação na linha 3 componente a componente:
  • Primeiro elemento: 12 - \frac{3}{2}\cdot 8 = 12 - 12 = 0.
  • Segundo elemento: 2 - \frac{3}{2}\cdot 2 = 2 - 3 = -1.
  • Terceiro elemento: 2 - \frac{3}{2}\cdot(-2) = 2 + 3 = 5.
  • Termo independente: 6 - \frac{3}{2}\cdot(-2) = 6 + 3 = 9.
Então a nova linha 3 é
\left[0,\; -1,\; 5\; \mid\; 9\right].
A matriz após as eliminações na primeira coluna é
\left[\begin{array}{ccc|c} 8 & 2 & -2 & -2\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{13}{2} & \tfrac{13}{2}\\[4pt] 0 & -1 & 5 & 9 \end{array}\right].]

Passo 7

É conveniente simplificar a linha 2 para ter pivot 1 na coluna 2. Multiplicamos a linha 2 por -2:
\text{linha 2} \leftarrow -2 \times \text{linha 2}.
Cálculo:
-\!2\cdot\left[0,\; -\tfrac{1}{2},\; \tfrac{13}{2}\; \mid\; \tfrac{13}{2}\right] = \left[0,\; 1,\; -13\; \mid\; -13\right].
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 8 & 2 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -13 & -13\\[4pt] 0 & -1 & 5 & 9 \end{array}\right].]

Passo 8

Com pivot 1 na posição 2,2, vamos zerar o elemento abaixo dele (linha 3, coluna 2). Basta somar a linha 2 à linha 3, porque a linha 3 tem -1 nessa posição:
\text{linha 3} \leftarrow \text{linha 3} + \text{linha 2}.
Realizando componente a componente:
  • Primeiro elemento: 0 + 0 = 0.
  • Segundo elemento: -1 + 1 = 0.
  • Terceiro elemento: 5 + (-13) = -8.
  • Termo independente: 9 + (-13) = -4.
A nova linha 3 é
\left[0,\; 0,\; -8\; \mid\; -4\right].
A matriz triangular superior ficou:
\left[\begin{array}{ccc|c} 8 & 2 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -13 & -13\\[4pt] 0 & 0 & -8 & -4 \end{array}\right].]

Passo 9

Agora que a matriz está em forma triangular superior, resolvemos por substituição regressiva começando pela última equação (linha 3), que corresponde a:
-8\,x_{3} = -4.
Isolando x_{3}:
x_{3} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}.

Passo 10

Substituímos x_{3}=\tfrac{1}{2} na segunda equação (linha 2), que é
1\cdot x_{2} -13\cdot x_{3} = -13.
Substituindo:
x_{2} -13\cdot\frac{1}{2} = -13.
Calculando:
x_{2} - \frac{13}{2} = -13 \quad\Rightarrow\quad x_{2} = -13 + \frac{13}{2} = -\frac{26}{2} + \frac{13}{2} = -\frac{13}{2}.

Passo 11

Finalmente substituímos x_{2}=-\tfrac{13}{2} e x_{3}=\tfrac{1}{2} na primeira equação:
8x_{1} + 2x_{2} -2x_{3} = -2.
Calculemos cada termo:
2x_{2} = 2\cdot\left(-\tfrac{13}{2}\right) = -13, \qquad -2x_{3} = -2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right) = -1.
Logo
8x_{1} -13 -1 = -2 \quad\Rightarrow\quad 8x_{1} -14 = -2.
Isolando x_{1}:
8x_{1} = 12 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}.

Passo 12

Pequena verificação (substituir solução nas equações originais rapidamente):
  • Primeira: 8\cdot\tfrac{3}{2} + 2\cdot\left(-\tfrac{13}{2}\right) -2\cdot\tfrac{1}{2} = 12 -13 -1 = -2
  • Segunda: 10\cdot\tfrac{3}{2} + 2\cdot\left(-\tfrac{13}{2}\right) +4\cdot\tfrac{1}{2} = 15 -13 +2 = 4
  • Terceira: 12\cdot\tfrac{3}{2} + 2\cdot\left(-\tfrac{13}{2}\right) +2\cdot\tfrac{1}{2} = 18 -13 +1 = 6
Tudo confere — ótima!

Resposta

x_{1}=\tfrac{3}{2}
x_{2}=-\tfrac{13}{2}
x_{3}=\tfrac{1}{2}

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