([CHAPRA, 2008], Problema 6.5, Página 123) Determine a raiz positiva de
, usando o método de Newton-Raphson e uma aproximação inicial
.
SOLUÇÃO:
Solução. A fórmula de Newton-Raphson para esse caso é
a qual pode ser usada para calcular
Iteração
0
0,5
1
51,65
2
46,485
3
41,8365
4
37,65285
5
33,887565
1,0000000
Logo, depois da primeira previsão fraca, a técnica está convergindo para a raiz verdadeira de 1 , mas a uma taxa muito lenta.
| Iteração |
|
| 0 | 0,5 |
| 1 | 51,65 |
| 2 | 46,485 |
| 3 | 41,8365 |
| 4 | 37,65285 |
| 5 | 33,887565 |
|
|
|
|
|
1,0000000 |
Passo 1
O enunciado pede: determinar a raiz positiva da função
aplicando o método de Newton-Raphson com aproximação inicial
.
Informações dadas que vamos usar: a função , a aproximação inicial
e que devemos usar a iteração de Newton-Raphson para localizar a raiz positiva.
Informações dadas que vamos usar: a função
Passo 2
Vou explicar rapidamente o método de Newton-Raphson (sem assumir que você já saiba). A ideia é: se queremos resolver
, a cada iteração construímos a reta tangente a
em
e usamos a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação
. A fórmula geral é
Aqui:
-
é o valor da função no ponto atual ; -
é a derivada da função no ponto ; - a fração
é a correção que subtraímos de para chegar a .
Passo 3
Aplicando ao nosso problema, primeiro calculamos a derivada de
. Para
temos derivada
Expliquei: ao derivar
usamos a regra básica
, então
. O
some porque a derivada de constante é zero.
Passo 4
Agora plugamos na fórmula de Newton:
Podemos simplificar a fração para uma forma mais prática. Faça a divisão
. Logo
Essa forma é útil porque mostra duas parcelas:
(que é uma redução linear do
) e uma segunda parcela
que pode ser muito pequena quando
é grande.
Passo 5
Vamos calcular as primeiras iterações passo a passo (mostrando as contas). Começamos com
.
Cálculo de
:
Primeiro
. Então
Assim
Cálculo de
:
Aqui
é gigantesco, então a fração
é extremamente pequena (ordem de
, desprezável). Assim, numericamente
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Esses valores coincidem com a tabela do enunciado. Observe que enquanto
for relativamente grande, o termo
é minúsculo e a iteração fica praticamente
.
Passo 6
Vamos interpretar o comportamento: a iteração exata é
Se
for grande, a segunda parcela é quase zero e a iteração reduz
por um fator aproximadamente
a cada passo — isso é uma convergência linear e lenta. Quando
ficar perto de
, os termos se equilibram e o método encontra a raiz. Note que o ponto fixo dessa iteração satisfaz
ou seja, o único ponto fixo positivo é
, que é exatamente a raiz positiva procurada.
Passo 7
Estimativa do número de iterações necessárias: enquanto a parcela
for desprezível, podemos aproximar
(a partir de
). Para saber quantas iterações até
, resolvemos aproximadamente
Tomando logaritmo natural:
Numericamente,
e
, então
Ou seja, serão necessárias algo como
iterações para a sequência atingir valores próximos de
(a partir de
). Isso explica o comentário do enunciado: a técnica converge, mas muito devagar a partir de
.
Passo 8
Comentário sobre convergência quadrática: quando a aproximação já estiver suficientemente próxima da raiz
, o método de Newton passa a ter convergência quadrática (o erro se reduz muito rápido). Porém, neste caso a região “suficientemente próxima” só é atingida depois de muitas iterações porque a iteração inicial se comporta linearmente com fator
. Logo, começando em
o método tardará muitas iterações até entrar no regime rápido.