([CHAPRA, 2008], Problema 3.1, Página 46) Suponha que você tenha a tarefa de medir os comprimentos de uma ponte e de um rebite e que conseguiu 9.999 e 9 cm , respectivamente. Se os valores verdadeiros forem 10.000 e 10 cm , respectivamente, calcule o erro relativo porcentual verdadeiro para cada caso.
Passo 1
Dados fornecidos e o que se pede:
- Medida obtida para a ponte:
. - Valor verdadeiro da ponte:
. - Medida obtida para o rebite:
. - Valor verdadeiro do rebite:
.
O enunciado pede: calcule o erro relativo porcentual verdadeiro para cada caso (ou seja, qual a diferença relativa entre a medida obtida e o valor verdadeiro, expressa em porcentagem).
Passo 2
Definições e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Erro absoluto: é a diferença entre o valor verdadeiro e o valor aproximado (medido). Para uma medida aproximada
e valor verdadeiro ,
Isto diz “quanto, em unidades, você errou”.
- Erro relativo (fração): é o erro absoluto dividido pelo valor verdadeiro,
Isto diz “quanto você errou em relação ao tamanho real” (por exemplo, um erro de 1 numa quantidade de 10 é grande:
).
- Erro relativo porcentual: multiplicamos a fração por
para obter porcentagem,
Explicação das letras:
é o valor verdadeiro,
é o valor aproximado (medido). As barras
indicam valor absoluto (tornando o erro positivo).
Passo 3
Cálculo — caso da ponte (vou fazer passo a passo e explicar cada conta):
- Primeiro, erro absoluto:
Aqui subtraímos os números como em qualquer operação:
.
- Agora a fração do erro (erro relativo):
Para ver mentalmente: dividir
por
(pois
é numericamente
) desloca a vírgula três casas a esquerda:
.
- Converter para porcentagem:
Portanto a ponte tem erro relativo porcentual
.
Passo 4
Cálculo — caso do rebite (novamente passo a passo):
- Erro absoluto:
- Erro relativo (fração):
Aqui é direto: um erro de
numa verdadeira medida de
corresponde a
.
- Converter para porcentagem:
Portanto o rebite tem erro relativo porcentual
.
Passo 5
Interpretação (dica para a prova e entendimento):
- Note que o erro absoluto da ponte (
) é muito menor que o do rebite ( ), mas o que importa muitas vezes é o erro relativo: o rebite tem erro relativo enorme ( ) enquanto a ponte está com erro muito pequeno ( ). Ou seja, um pequeno erro absoluto pode ser desprezível quando a grandeza é grande, e um erro pequeno em unidades pode ser grande em porcentagem se a quantidade verdadeira for pequena. - Dica rápida para calcular na prova: calcule o erro absoluto simples, divida pelo valor verdadeiro (pense em deslocar a vírgula mentalmente) e multiplique por
.
Resposta
Ponte:
Rebite:
Rebite: