([CHAPRA, 2008], Problema 3.1, Página 46) Suponha que você tenha a tarefa de medir os comprimentos de uma ponte e de um rebite e que conseguiu 9.999 e 9 cm , respectivamente. Se os valores verdadeiros forem 10.000 e 10 cm , respectivamente, calcule o erro relativo porcentual verdadeiro para cada caso.

Passo 1

Dados fornecidos e o que se pede:
  • Medida obtida para a ponte: 9,999.
  • Valor verdadeiro da ponte: 10,000.
  • Medida obtida para o rebite: 9\\ \text{cm}.
  • Valor verdadeiro do rebite: 10\\ \text{cm}.
    O enunciado pede: calcule o erro relativo porcentual verdadeiro para cada caso (ou seja, qual a diferença relativa entre a medida obtida e o valor verdadeiro, expressa em porcentagem).

Passo 2

Definições e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Erro absoluto: é a diferença entre o valor verdadeiro e o valor aproximado (medido). Para uma medida aproximada x_{\text{ap}} e valor verdadeiro x_{\text{v}},
\text{erro absoluto} = \left|x_{\text{v}} - x_{\text{ap}}\right|.
Isto diz “quanto, em unidades, você errou”.
  • Erro relativo (fração): é o erro absoluto dividido pelo valor verdadeiro,
\text{erro relativo} = \frac{\left|x_{\text{v}} - x_{\text{ap}}\right|}{\left|x_{\text{v}}\right|}.
Isto diz “quanto você errou em relação ao tamanho real” (por exemplo, um erro de 1 numa quantidade de 10 é grande: 1/10=0,1).
  • Erro relativo porcentual: multiplicamos a fração por 100 para obter porcentagem,
\text{erro porcentual} = 100\cdot\frac{\left|x_{\text{v}} - x_{\text{ap}}\right|}{\left|x_{\text{v}}\right|}\%.
Explicação das letras: x_{\text{v}} é o valor verdadeiro, x_{\text{ap}} é o valor aproximado (medido). As barras |\cdot| indicam valor absoluto (tornando o erro positivo).

Passo 3

Cálculo — caso da ponte (vou fazer passo a passo e explicar cada conta):
  • Primeiro, erro absoluto:
\text{erro absoluto}_{\text{ponte}}=\left|10,000-9,999\right|=0,001.
Aqui subtraímos os números como em qualquer operação: 10,000-9,999=0,001.
  • Agora a fração do erro (erro relativo):
\text{erro relativo}_{\text{ponte}}=\frac{0,001}{10,000}=0,0001.
Para ver mentalmente: dividir 0,001 por 10 (pois 10,000 é numericamente 10) desloca a vírgula três casas a esquerda: 0,001/10=0,0001.
  • Converter para porcentagem:
\text{erro porcentual}_{\text{ponte}}=100\cdot 0,0001=0,01\%.
Portanto a ponte tem erro relativo porcentual 0,01\%.

Passo 4

Cálculo — caso do rebite (novamente passo a passo):
  • Erro absoluto:
\text{erro absoluto}_{\text{rebite}}=\left|10-9\right|=1\\ \text{cm}.
  • Erro relativo (fração):
\text{erro relativo}_{\text{rebite}}=\frac{1}{10}=0,1.
Aqui é direto: um erro de 1 numa verdadeira medida de 10 corresponde a 0,1.
  • Converter para porcentagem:
\text{erro porcentual}_{\text{rebite}}=100\cdot 0,1=10\%.
Portanto o rebite tem erro relativo porcentual 10\%.

Passo 5

Interpretação (dica para a prova e entendimento):
  • Note que o erro absoluto da ponte ( 0,001) é muito menor que o do rebite ( 1), mas o que importa muitas vezes é o erro relativo: o rebite tem erro relativo enorme ( 10\%) enquanto a ponte está com erro muito pequeno ( 0,01\%). Ou seja, um pequeno erro absoluto pode ser desprezível quando a grandeza é grande, e um erro pequeno em unidades pode ser grande em porcentagem se a quantidade verdadeira for pequena.
  • Dica rápida para calcular na prova: calcule o erro absoluto simples, divida pelo valor verdadeiro (pense em deslocar a vírgula mentalmente) e multiplique por 100.

Resposta

Ponte: 0,01\%
Rebite: 10\%

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