\checkmark Um campo de velocidade é dado por:
\overrightarrow{\mathrm{V}}=(\operatorname{Axy}) \overrightarrow{\mathrm{i}}+\left(\mathrm{By}^{2}\right) \overrightarrow{\mathrm{j}} ; \quad \mathrm{A}=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \mathrm{B}=-1 / 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano x y.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidade no plano xy
\overrightarrow V = (A\,x\,y)\,\overrightarrow i + \bigl(B\,y^2\bigr)\,\overrightarrow j,
com A=1 m/s e B=-\tfrac12 m/s. Queremos a equação das linhas de corrente (streamlines), que são curvas cujas tangentes coincidem com o campo de velocidade.

Passo 2

Em linhas de corrente, a inclinação dy/dx da curva no ponto (x,y) deve satisfazer
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{v_y}{v_x}
onde v_x=A\,x\,y e v_y=B\,y^2. Logo,
\frac{dy}{dx} =\frac{B\,y^2}{A\,x\,y}.

Passo 3

Simplificando a fração obtemos
\frac{dy}{dx} =\frac{B}{A}\,\frac{y}{x}.
Isso é uma equação de variáveis separáveis. Podemos escrever
\frac{dy}{y} =\frac{B}{A}\,\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y} =\frac{B}{A}\,\int \frac{dx}{x} \;\Longrightarrow\; \ln|y| = \frac{B}{A}\,\ln|x| + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
|y| = e^C\,|x|^{\,B/A}.
Chamando K=e^C, temos
y = K\,x^{\,B/A}.

Passo 5

Substituindo B/A = -\tfrac12, chega-se a
y = K\,x^{-1/2} \quad\Longleftrightarrow\quad y\,\sqrt{x} = K.
Portanto, cada linha de corrente satisfaz essa relação com um valor próprio de K.

Resposta

A família de linhas de corrente é dada por
y\,\sqrt{x} = \text{constante}.

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