Seja X a v.a. que corresponde a observar três caras no lançamento de uma moeda honesta três vezes seguidas.
(a) Qual o espaço amostral do experimento?
(b) Quais valores X pode assumir?
(c) Quais resultados do espaço amostral levam aos respectivos valores de X ?
(d) Escreva a função de probabilidade de X.

Passo 1

O enunciado diz: lançamos uma moeda honesta (probabilidade de cara igual à de coroa) três vezes, e definimos a variável aleatória X que “corresponde a observar três caras”. As perguntas são:
(a) Qual o espaço amostral do experimento?
(b) Quais valores X pode assumir?
(c) Quais resultados do espaço amostral levam aos respectivos valores de X?
(d) Escreva a função de probabilidade de X.
Informações relevantes dadas: a moeda é honesta (cada face tem probabilidade \tfrac{1}{2}) e os três lançamentos são independentes entre si.

Passo 2

Definir o espaço amostral significa listar todas as sequências possíveis de resultados nos três lançamentos. Vou denotar explicitamente \text{cara} e \text{coroa}. Cada lançamento tem duas possibilidades, então existem 2^3=8 resultados possíveis. O espaço amostral é
\Omega=\{(\text{cara},\text{cara},\text{cara}),\,(\text{cara},\text{cara},\text{coroa}),\,(\text{cara},\text{coroa},\text{cara}),\,(\text{cara},\text{coroa},\text{coroa}),
(\text{coroa},\text{cara},\text{cara}),\,(\text{coroa},\text{cara},\text{coroa}),\,(\text{coroa},\text{coroa},\text{cara}),\,(\text{coroa},\text{coroa},\text{coroa})\}.
Como a moeda é honesta e os lançamentos são independentes, cada sequência tem probabilidade
P(\text{sequência})=\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}.ê

Passo 3

Explicar o que significa X\): a frase " \(X\) corresponde a observar três caras" indica que \(X\) é uma variável indicadora do evento "os três lançamentos resultam em cara". Isto é, \(X\) vale \(1\) quando observamos três caras e vale \(0\) caso contrário. Formalmente podemos escrever \[X(\omega)= \begin{cases} 1, & \text{se } \omega=(\text{cara},\text{cara},\text{cara}),\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Portanto (X] é uma variável aleatória de Bernoulli (indicadora) com dois possíveis valores.]

Passo 4

Listar os valores que X pode assumir: a partir da definição do passo anterior, os únicos valores possíveis são
\{0,1\}.
Expliquei o porquê: 1 indica que o resultado foi exatamente três caras; 0 indica que não foram três caras.

Passo 5

Associar cada elemento de \Omega ao valor de X. Pelo que escrevemos:
X((\text{cara},\text{cara},\text{cara}))=1.
Para as outras sete sequências do espaço amostral temos
X(\omega)=0\quad\text{para }\omega\in\{(\text{cara},\text{cara},\text{coroa}),(\text{cara},\text{coroa},\text{cara}),(\text{cara},\text{coroa},\text{coroa}),
(\text{coroa},\text{cara},\text{cara}),(\text{coroa},\text{cara},\text{coroa}),(\text{coroa},\text{coroa},\text{cara}),(\text{coroa},\text{coroa},\text{coroa})\}.

Passo 6

Calcular as probabilidades associadas aos valores de X. Usamos que cada sequência tem probabilidade \tfrac{1}{8}.
  • Probabilidade de X=1 é a probabilidade de ocorrer (\text{cara},\text{cara},\text{cara}), portanto
P(X=1)=P((\text{cara},\text{cara},\text{cara}))=\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}.
Aqui usei a regra do produto para eventos independentes: P(A\text{ e }B\text{ e }C)=P(A)P(B)P\text{(C)}.
  • Probabilidade de X=0 é a probabilidade do complementar (qualquer sequência diferente de três caras), então
P(X=0)=1-P(X=1)=1-\tfrac{1}{8}=\tfrac{7}{8}.

Passo 7

Escrever a função massa de probabilidade (pmf) de X\). A pmf é a função \(p_X\) definida por \(p_X(x)=P(X=x)\). No nosso caso: \[p_X(x)= \begin{cases} \tfrac{1}{8}, & \text{se } x=1,\\[4pt] \tfrac{7}{8}, & \text{se } x=0,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Isto descreve completamente a distribuição de probabilidades de (X].]

Resposta

(a) \Omega=\{(\text{cara},\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{cara},\text{coroa}),(\text{cara},\text{coroa},\text{cara}),(\text{cara},\text{coroa},\text{coroa}),(\text{coroa},\text{cara},\text{cara}),(\text{coroa},\text{cara},\text{coroa}),(\text{coroa},\text{coroa},\text{cara}),(\text{coroa},\text{coroa},\text{coroa})\} (b) \(\{0,1\}\) \text{(c)} \(X((\text{cara},\text{cara},\text{cara}))=1\); para as demais sete sequências de \(\Omega\) temos \(X(\omega)=0\). (d) \(p_X(x)=\begin{cases}\tfrac{1}{8},&x=1,\\[4pt]\tfrac{7}{8},&x=0,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}])

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