Seja
a v.a. que corresponde a observar três caras no lançamento de uma moeda honesta três vezes seguidas.
(a) Qual o espaço amostral do experimento?
(b) Quais valores
pode assumir?
(c) Quais resultados do espaço amostral levam aos respectivos valores de
?
(d) Escreva a função de probabilidade de
.
(a) Qual o espaço amostral do experimento?
(b) Quais valores
(c) Quais resultados do espaço amostral levam aos respectivos valores de
(d) Escreva a função de probabilidade de
Passo 1
O enunciado diz: lançamos uma moeda honesta (probabilidade de cara igual à de coroa) três vezes, e definimos a variável aleatória
que “corresponde a observar três caras”. As perguntas são:
(a) Qual o espaço amostral do experimento?
(b) Quais valores pode assumir?
(c) Quais resultados do espaço amostral levam aos respectivos valores de ?
(d) Escreva a função de probabilidade de .
(a) Qual o espaço amostral do experimento?
(b) Quais valores
(c) Quais resultados do espaço amostral levam aos respectivos valores de
(d) Escreva a função de probabilidade de
Informações relevantes dadas: a moeda é honesta (cada face tem probabilidade
) e os três lançamentos são independentes entre si.
Passo 2
Definir o espaço amostral significa listar todas as sequências possíveis de resultados nos três lançamentos. Vou denotar explicitamente
e
. Cada lançamento tem duas possibilidades, então existem
resultados possíveis. O espaço amostral é
Como a moeda é honesta e os lançamentos são independentes, cada sequência tem probabilidade
Passo 3
Explicar o que significa
Portanto (X] é uma variável aleatória de Bernoulli (indicadora) com dois possíveis valores.]
Passo 4
Listar os valores que
pode assumir: a partir da definição do passo anterior, os únicos valores possíveis são
Expliquei o porquê:
indica que o resultado foi exatamente três caras;
indica que não foram três caras.
Passo 5
Associar cada elemento de
ao valor de
. Pelo que escrevemos:
Para as outras sete sequências do espaço amostral temos
Passo 6
Calcular as probabilidades associadas aos valores de
. Usamos que cada sequência tem probabilidade
.
- Probabilidade de
é a probabilidade de ocorrer , portanto
Aqui usei a regra do produto para eventos independentes:
.
- Probabilidade de
é a probabilidade do complementar (qualquer sequência diferente de três caras), então
Passo 7
Escrever a função massa de probabilidade (pmf) de
Isto descreve completamente a distribuição de probabilidades de (X].]
Resposta
(a)
])