Checkpoint 3.3.2
(b) Existe alguma superfície fechada envolvendo uma partícula carregada através da qual o fluxo das linhas de campo seja diferente do fluxo através de uma simples esfera ao redor dessa partícula?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe alguma superfície fechada, envolvendo uma carga pontual, tal que o fluxo do campo elétrico através dela seja diferente do fluxo através de uma esfera centrada nessa carga. O conteúdo envolvido é a Lei de Gauss, que relaciona fluxo de campo elétrico com carga envolvida.

Passo 2

A Lei de Gauss afirma que, para qualquer superfície fechada S que envolva cargas, o fluxo total do campo elétrico \mathbf{E} através de S é dado por
\Phi_E = \oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro de S e \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo.

Passo 3

Note que a fórmula acima não faz nenhuma referência à forma ou ao tamanho da superfície, apenas à carga que ela envolve. Assim, seja S uma esfera, um cubo, um toro ou qualquer outra forma fechada, desde que contenha a mesma carga Q, teremos
\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}
em todos os casos.

Passo 4

A única condição para que o fluxo seja igual ao da esfera é que a superfície não corte a região onde a carga está localizada e que não envolva cargas adicionais. Se você deformar a esfera em qualquer outra forma fechada sem “rasgar” ou atravessar a carga, o fluxo continua igual.

Resposta

Não existe nenhuma superfície fechada que envolva uma carga pontual e apresente fluxo diferente daquele através de uma esfera ao redor da mesma carga, pois o fluxo depende apenas da carga envolvida, não da forma da superfície.

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