Checkpoint 2.1.3

(a) A magnitude da força gravitacional exercida pela Terra sobre uma bola é maior, igual ou menor que a magnitude da força gravitacional exercida pela bola sobre a Terra? (b) A magnitude do campo gravitacional da Terra na posição da bola é maior, igual ou menor que a magnitude do campo gravitacional da bola a uma distância igual ao raio da Terra? (c) Explique como as respostas para as partes a e b podem estar ambas corretas.

Passo 1

O enunciado trata da força gravitacional mútua entre a Terra (massa \,M_E) e uma bola (massa \,m_b) e dos campos gravitacionais produzidos por cada um. Para resolver precisamos usar:
  1. A lei da gravitação universal de Newton para a força
  2. A definição de campo gravitacional como força por unidade de massa
  3. A terceira lei de Newton (ação e reação)

Passo 2

Para a parte (a) usamos a terceira lei de Newton: toda força de um corpo sobre outro tem uma força de igual magnitude, mas sentido oposto, exercida pelo segundo sobre o primeiro. Pela lei da gravitação universal, a força com que a Terra atrai a bola é
F_{E\to b} = G\,\frac{M_E\,m_b}{R_E^2}
e a força com que a bola atrai a Terra é
F_{b\to E} = G\,\frac{m_b\,M_E}{R_E^2}.
Como as expressões são idênticas, concluímos que
\bigl|F_{E\to b}\bigr| = \bigl|F_{b\to E}\bigr|.

Passo 3

Para a parte (b) lembramos que o campo gravitacional de um corpo de massa M a uma distância r é
g = G\,\frac{M}{r^2}.
No caso da Terra, em sua superfície r=R_E e
g_E = G\,\frac{M_E}{R_E^2}.
No caso da bola, à mesma distância r=R_E (ou seja, “colada” na superfície da Terra),
g_b = G\,\frac{m_b}{R_E^2}.
Como \,M_E\gg m_b, segue que
g_E \gg g_b,
isto é, o campo gravitacional da Terra na posição da bola é muito maior que o campo gravitacional da bola à mesma distância.

Passo 4

Para a parte (c) juntamos as ideias:
  • As forças são iguais em magnitude porque vêm da mesma lei gravitacional e satisfazem a terceira lei de Newton.
  • Os campos são diferentes porque cada campo é a força que o corpo produziria em uma “massa de teste” por unidade dessa massa, e isso depende diretamente da massa que gera o campo. Como a Terra é enormemente mais massiva que a bola, o campo da Terra é muito mais intenso que o campo da bola, mesmo que a força mútua seja igual.

Resposta

(a) igual
(b) o campo da Terra é maior que o da bola
(c) as forças são iguais por ação e reação, mas os campos diferem porque cada um é proporcional à massa que o gera.

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