Um objeto de 2,0 \mathrm{~kg} preso a uma mola se move sem atrito e é impulsionado por uma força externa dada por F=(3,0 \mathrm{~N})^{*} \cos (2 \pi \mathrm{t}). Se a constante elástica da mola for 2 \mathrm{N} / \mathrm{m}, (a) determine a amplitude do movimento. (b) Se esse movimento entrar em ressonância, o que ocorrerá com a sua amplitude?

Passo 1

O problema descreve um oscilador massa-mola sem amortecimento e submetido a uma força externa periódica. Temos massa \,m=2{,}0\;\mathrm{kg}, constante elástica \,k=2\;\mathrm{N/m} e força de excitação \,F(t)=F_{0}\cos(\omega t) com \,F_{0}=3{,}0\;\mathrm{N} e \,\omega=2\pi\;\mathrm{rad/s}.
Queremos (a) a amplitude do regime estacionário e (b) o que ocorre em ressonância.

Passo 2

A equação do movimento é
m\,\ddot x + k\,x = F_{0}\,\cos(\omega t)\,.
No regime permanente (solução particular), a amplitude da resposta é dada por
A = \frac{F_{0}}{\bigl|\,k - m\,\omega^{2}\bigr|}\,.

Passo 3

Calculamos a frequência angular natural do sistema:
\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{2}{2}} = 1\;\mathrm{rad/s}\,.

Passo 4

Substituindo em \,k - m\,\omega^{2}:
k - m\,\omega^{2} = 2 - 2\,(2\pi)^{2} = 2 - 8\pi^{2}\approx -76{,}96\,.
Logo,
A = \frac{3{,}0}{\bigl|{-76{,}96}\bigr|}\approx 0{,}039\;\mathrm{m}\,.

Passo 5

Convertendo para centímetros:
A \approx 0{,}039\;\mathrm{m} = 3{,}9\;\mathrm{cm}\,.

Passo 6

Em ressonância a frequência de excitação coincide com a natural, isto é \,\omega=\omega_{0}.
Nesse caso o denominador \,k - m\,\omega^{2} zera e, sem amortecimento, a amplitude cresce sem limite (tende ao infinito).

Resposta

(a) A\approx 3{,}9\;\mathrm{cm}.
(b) Em ressonância, como não há amortecimento, a amplitude cresce indefinidamente (tende ao infinito).

Exercícios relacionados