Encontre a solução u(x, y)\) da equação de Laplace no retângulo \(0<x<a, 0<y<b\) que satisfaz as condições de contorno onde \(g(x)= \begin{cases}x & 0 \leq x \leq a / 2 \\\ a-x & a / 2 \leq x \leq a\end{cases} \begin{array}{ll}u(x, 0)=0, & u(x, b)=g(x) \u(0, y)=0, & u(a, y)=y(b-y)\end{array}

Passo 1

O enunciado pede a solução u(x,y)\) da equação de Laplace no retângulo \[0<x<a,\quad 0<y<b
com condições de contorno não homogêneas em três lados:
u(x,0)=0,\quad u(x,b)=g(x),\quad u(0,y)=0,\quad u(a,y)=y(b-y),
onde
g(x)= \begin{cases} x,&0\le x\le \tfrac a2,\\\ a-x,&\tfrac a2\le x\le a. \end{cases}
O método que vamos usar é o da superposição: escrever
u(x,y)=u_1(x,y)+u_2(x,y),
onde
u_1\] resolve Laplace com bordas \(u_1(x,0)=0, u_1(x,b)=g(x), u_1(0,y)=u_1(a,y)=0.
u_2 resolve Laplace com bordas u_2(x,0)=u_2(x,b)=0, u_2(0,y)=0, u_2(a,y)=y(b-y).

Passo 2

Resolvendo para u_1: expandimos g(x) em série de senos em 0<x<a, pois as BC em x=0,a são nulas.
g(x)=\sum_{n=1}^\infty A_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr),
com
A_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}g(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\,\mathrm{d}x =\frac{2}{a}\Bigl[\int_{0}^{a/2}x\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\mathrm{d}x +\int_{a/2}^{a}(a-x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\mathrm{d}x\Bigr].

Passo 3

A solução para u_1 usando separação de variáveis é
u_1(x,y) =\sum_{n=1}^\infty A_n\, \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr)} \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr).

Passo 4

Resolvendo para u_2: agora as BC em y=0,b são nulas e em x=0 também, ficando só não nula em x=a. Expandimos
f(y)=y(b-y)=\sum_{m=1}^\infty C_m\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi y}{b}\bigr),
com
C_m=\frac{2}{b}\int_{0}^{b}y(b-y)\,\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi y}{b}\bigr)\,\mathrm{d}y.

Passo 5

A solução para u_2 é então
u_2(x,y) =\sum_{m=1}^\infty C_m\, \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{b}\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{m\pi a}{b}\bigr)} \sin\!\bigl(\tfrac{m\pi y}{b}\bigr).

Passo 6

Somando, a solução geral é
u(x,y)= \sum_{n=1}^\infty A_n\, \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr)} \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr) \;+\; \sum_{m=1}^\infty C_m\, \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{b}\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{m\pi a}{b}\bigr)} \sin\!\bigl(\tfrac{m\pi y}{b}\bigr),
onde A_n e C_m são dados pelas integrais dos coeficientes acima.

Resposta

u(x,y)= \sum_{n=1}^\infty\Bigl[\frac{2}{a}\!\int_{0}^{a}g(s)\sin\!\tfrac{n\pi s}{a}\,\mathrm{d}s\Bigr] \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{a}\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi b}{a}\bigr)} \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr) \;+\; \sum_{m=1}^\infty\Bigl[\frac{2}{b}\!\int_{0}^{b}t(b-t)\sin\!\tfrac{m\pi t}{b}\,\mathrm{d}t\Bigr] \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{b}\bigr)}{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{m\pi a}{b}\bigr)} \sin\!\bigl(\tfrac{m\pi y}{b}\bigr).

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