(Cheng, exemplo 7-8, pag.357). Uma onda eletromagnética harmônica de frequência f =1 \mathrm{GHz}, cujo campo elétrico tem uma amplitude de 250 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, se propaga num dielétrico cuja tangente de perdas é 0.001 . Considerar \varepsilon_{\mathrm{r}}=\varepsilon / \varepsilon_{0}=2.5, e \varepsilon_{0}=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m}. Achar a densidade de potência média dissipada por efeito joule no médio.
Solução:
Determinamos primeiramente a condutividade do dielétrico:
\tan \delta=\frac{\sigma}{\omega \varepsilon} \Rightarrow 0.001=\frac{\sigma}{2 \pi \times 1 \times 10^{9} \frac{1}{\mathrm{~s}} \times 2.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \frac{\mathrm{~F}}{\mathrm{~m}}}
Daí, a condutividade do dielétrico é: \sigma=1.39 \times 10^{-4} \mathrm{~S} / \mathrm{m}
Para saber a densidade de potência média dissipada por efeito joule vemos, no teorema de poynting que o termo correspondente é:
P_{\sigma}=\sigma E^{2}
Desde que o campo elétrico varia em forma harmônica, o campo elevado ao quadrado será proporcional ao \cos ^{2}(\omega t), (ou \sin ^{2}(\omega t) ), daí o valor médio temporal será:
\left\langle P_{\sigma}\right\rangle=\frac{1}{2} \sigma E_{0}^{2}=\frac{1}{2} 1.39 \times 10^{-4} \frac{S}{\mathrm{~m}} 250^{2} \frac{V^{2}}{\mathrm{~m}^{2}}=4.34 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m}^{3}}

Passo 1

O enunciado fornece uma onda eletromagnética harmônica de frequência f=1\,\mathrm{GHz} e amplitude do campo elétrico E_{0}=250\,\mathrm{V/m}, que se propaga num dielétrico com tangente de perdas \tan\delta=0{,}001 e permitividade relativa \varepsilon_{r}=2{,}5. Preciso achar a densidade de potência média dissipada por efeito Joule no meio. Para isso vou:
  1. usar a relação entre \tan\delta e a condutividade \sigma,
  2. aplicar a fórmula de perdas condutivas do teorema de Poynting e
  3. calcular a média temporal para um campo harmônico.

Passo 2

Calculemos a frequência angular \omega e a permitividade absoluta \varepsilon do dielétrico:
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 1\times10^{9}\,\mathrm{s^{-1}} = 6{,}28\times10^{9}\,\mathrm{rad/s}
\varepsilon = \varepsilon_{r}\,\varepsilon_{0} = 2{,}5\times8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m} = 2{,}2125\times10^{-11}\,\mathrm{F/m}

Passo 3

A tangente de perdas está relacionada à condutividade por
\tan\delta = \frac{\sigma}{\omega\,\varepsilon}
Então
\sigma = \tan\delta\;\omega\,\varepsilon = 0{,}001 \times 6{,}28\times10^{9} \times 2{,}2125\times10^{-11} = 1{,}39\times10^{-4}\,\mathrm{S/m}

Passo 4

A densidade de potência instantânea dissipada por efeito Joule é
P_{\sigma}(t) = \sigma\,E^{2}(t).
Para um campo harmônico E(t)=E_{0}\cos(\omega t), a média temporal vale
\langle P_{\sigma}\rangle = \frac{1}{2}\,\sigma\,E_{0}^{2}.

Passo 5

Substituindo os valores encontrados:
\langle P_{\sigma}\rangle = \frac{1}{2}\times1{,}39\times10^{-4}\,\mathrm{S/m}\times(250\,\mathrm{V/m})^{2} = 4{,}34\,\mathrm{W/m^{3}}.

Resposta

A densidade de potência média dissipada por efeito Joule no dielétrico é
4{,}34\,\mathrm{W/m^{3}}.

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