Os parâmetros constitutivos do cobre são: \mu=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}, \varepsilon=(1 / 36 \pi) \times 10^{-9} \mathrm{~F} / \mathrm{m} e \sigma= 5.8 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}. Ao longo de qual faixa de frequências o cobre é um bom condutor?
Solução:
Para um bom condutor, temos que: \quad \frac{\sigma}{\omega \varepsilon} \gg 1
Tomando o número 100 , como sendo muito maior que 1: \quad \frac{\sigma}{\omega \varepsilon}>100
\frac{\sigma}{2 \pi f \varepsilon}>100 \Rightarrow f<\frac{\sigma}{2 \pi 100 \varepsilon}=\frac{5.8 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}}{2 \pi 100(1 / 36 \pi) \times 10^{-9} \mathrm{~F} / \mathrm{m}}=1.04 \times 10^{16} \frac{\mathrm{~V}}{\Omega \mathrm{C}}=1.04 \times 10^{16} 1 / \mathrm{s}
Lembrar que 1 \Omega=\mathrm{V} / \mathrm{A}, e 1 A (ampere)= 1 \mathrm{C} / \mathrm{s}. Observação: C nas unidades representa Coulomb; multiplicar e dividir o denominador por segundo (s), para chegar às unidades do resultado.
Daí, o cobre é bom condutor para f < 1.04 \times 10^{16} 1 / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado fornece os parâmetros do cobre: permeabilidade \mu=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}, permissividade \varepsilon=(1/36\pi)\times10^{-9}\,\mathrm{F/m} e condutividade \sigma=5{,}8\times10^{7}\,\mathrm{S/m}. Queremos determinar para quais frequências o cobre pode ser considerado um bom condutor, usando o critério clássico baseado na razão entre condutividade e reatância capacitiva.

Passo 2

O critério de bom condutor é
\frac{\sigma}{\omega\,\varepsilon}\gg1,
onde \omega=2\pi f é a frequência angular.

Passo 3

Para transformar “ \gg1” em uma condição numérica, escolhemos como limite \tfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}>100. Assim,
\frac{\sigma}{2\pi f\,\varepsilon}>100.

Passo 4

Da desigualdade acima, isolamos f:
f<\frac{\sigma}{2\pi\cdot100\;\varepsilon}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
\varepsilon=\frac{1}{36\pi}\times10^{-9}\,\mathrm{F/m}, \quad \sigma=5{,}8\times10^{7}\,\mathrm{S/m},
temos
f<\frac{5{,}8\times10^{7}}{2\pi\cdot100\;\bigl(\tfrac{1}{36\pi}\times10^{-9}\bigr)} =1{,}04\times10^{16}\;\mathrm{s^{-1}}.

Resposta

O cobre se comporta como bom condutor para frequências
f < 1{,}04\times10^{16}\;\mathrm{Hz}.

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