(Ulaby, 7-45-pag237) O campo elétrico de uma onda plana que se propaga num médio não magnético \left(\mu=\mu_{0}\right) é dado por:
\mathbf{E}(x, t)=\hat{z} 25 e^{-30 x} \cos \left(2 \pi \times 10^{9} t-40 x\right)^{V} / \mathrm{m}
a) Obter uma expressão para o campo magnético H(x, t).
b) Determinar a impedância característica do médio.
Solução:
a) Escrevemos o campo elétrico na forma complexa:
\mathbf{E}(z, t)=\hat{z} 25 e^{-30 x} \operatorname{Re} e^{j\left(2 \pi \times 10^{9} t-40 x\right)} V / m
Dai, podemos identificar as ctes \alpha, \beta e também a freq. angular:
\alpha=-30 \frac{1}{m} \quad \beta=-40 \frac{1}{m} \quad \alpha=-30 \frac{1}{m} \quad \omega=2 \pi \times 10^{9} \mathrm{rad} / \mathrm{s}
Dos dados do problema, temos:
\mu=\mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}
O fasor campo elétrico é:
\mathbf{E s}(x)=\hat{z} 25 e^{(-30 x-j 40 x)} \mathrm{V} / \mathrm{m}
A lei de Faraday em forma fasorial:
\nabla \times \mathbf{E}_{s}=-j \omega \mu \mathbf{H}_{s}
Com isto, podemos determinar o fasor correspondente ao campo magnético, Hs.
Desde que o campo elétrico tem componente segundo z e depende de x, o rotacional fica:
\begin{aligned} & \nabla \times \mathbf{E}_{s}=-\hat{y} \frac{\partial E s}{\partial x}=\hat{y} 25(30+j 40) e^{(-30 x-j 40 x)} \\\ & \mathbf{H}_{s}=\hat{y} \frac{25(-40+j 30)}{\omega \mu_{0}} e^{(-30 x-j 40 x)}=\hat{y} \frac{25(-40+j 30) 1 / \mathrm{m} / \mathrm{m}}{2 \pi \times 10^{9} \mathrm{rad} / \mathrm{s} 4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}} e^{(-30 x-j 40 x)} \end{aligned}
Passando o numero complexo em forma retangular a polar, e lembrando que [\mathrm{H}]=\mathrm{Vs} / \mathrm{A} :
\mathbf{H}_{s}=\hat{y} \frac{25 \times 50 \mathrm{l} / \mathrm{m} e^{-j 36.86^{0}} \mathrm{~V} / \mathrm{m}}{2 \pi \times 10^{9} \mathrm{rad} / \mathrm{s} 4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{Vs} / \mathrm{Am}} e^{(-30 x-j 40 x)}=\hat{y} 0.16 e^{-30 x} e^{-j\left(40 x+36.86^{0}\right)} \mathrm{A} / \mathrm{m}
Multiplicando por \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \mathrm{e} tomando parte real:
\mathrm{H}(x, t)=\hat{\mathrm{y}} 0.16 e^{-30 x} \operatorname{Re} e^{-j\left(40 x+36.86^{0}-\omega t\right)} A / m=\hat{\mathrm{y}} 0.16 e^{-30 x} \cos \left(2 \pi \times 10^{9} t-40 x-36.86^{0}\right) A / m
b) Sabemos que: \quad \eta=\frac{E_{0 s}}{H_{0 s}}
e temos para as amplitudes dos fasores dos nossos campos:
\begin{aligned} E_{0 S} & =25 \mathrm{~V} / \mathrm{m} \quad H_{0 s}=0.16 e^{-j 36.86^{\circ}} \mathrm{A} / \mathrm{m} \\\ \eta & =\frac{25 \mathrm{~V} / \mathrm{m}}{0.16 e^{-j 36.86^{\circ}} \mathrm{A} / \mathrm{m}}=156.25 e^{j 36.86^{\circ}} \Omega \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de uma onda plana que decai ao longo de x num meio não magnético ( \mu=\mu_0) como
\mathbf{E}(x,t)=\hat{z}\,25\,e^{-30x}\cos\bigl(2\pi\times10^{9}t-40x\bigr)\;\mathrm{V/m},
e pede:
  1. uma expressão para o campo magnético \mathbf{H}(x,t),
  2. a impedância característica \eta do meio.
    Vamos usar representação fasorial, a lei de Faraday em regime permanente e depois voltar ao domínio do tempo.

Passo 2

Escrevemos \mathbf{E}(x,t) na forma fasorial
\mathbf{E}_s(x)=\hat{z}\,25\,e^{-(30+j40)x}\;\mathrm{V/m},
onde identificamos:
\alpha=30\;\mathrm m^{-1}, \beta=40\;\mathrm m^{-1} e
\omega=2\pi\times10^{9}\;\mathrm{rad/s}.

Passo 3

Em forma fasorial, a lei de Faraday é
\nabla\times\mathbf{E}_s=-\,j\omega\mu_0\,\mathbf{H}_s.
Como \mathbf{E}_s tem só componente em z e varia só em x,
\nabla\times\mathbf{E}_s =-\hat{y}\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl[25\,e^{-(30+j40)x}\bigr] =\hat{y}\,25\,(30+j40)\,e^{-(30+j40)x}.
Logo
\mathbf{H}_s =\frac{1}{-j\omega\mu_0}\,\nabla\times\mathbf{E}_s =\hat{y}\,\frac{25\,(30+j40)}{-j\,(2\pi\times10^9)\,(4\pi\times10^{-7})}\, e^{-(30+j40)x}.

Passo 4

Simplificamos o fator complexo:
\frac{30+j40}{-j}=(-40+j30),
cuja magnitude é \sqrt{(-40)^2+30^2}=50 e argumento -36.87^\circ.
Assim
\mathbf{H}_s =\hat{y}\,\frac{25\times50\,e^{-j36.87^\circ}}{2\pi\times10^9\;\!4\pi\times10^{-7}}\; e^{-(30+j40)x} =\hat{y}\,0.16\,e^{-j36.87^\circ}\,e^{-(30+j40)x}\;\mathrm{A/m}.

Passo 5

Voltando ao domínio do tempo e tomando a parte real:
\mathbf{H}(x,t) =\hat{y}\,0.16\,e^{-30x}\cos\bigl(2\pi\times10^9t-40x-36.87^\circ\bigr)\;\mathrm{A/m}.

Passo 6

A impedância característica é a razão entre as amplitudes fasoriais:
\eta=\frac{E_{0s}}{H_{0s}} =\frac{25}{0.16\,e^{-j36.87^\circ}} =156.25\,e^{j36.87^\circ}\;\Omega.

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{H}(x,t)=\hat{y}\,0.16\,e^{-30x}\cos\bigl(2\pi\times10^9t-40x-36.87^\circ\bigr)\;\mathrm{A/m}.
b) \displaystyle \eta=156.25\,e^{j36.87^\circ}\;\Omega.

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