Choose either 2 or 3.
Find all possible differentiable functions
which satisfy
for all
.
Find all possible differentiable functions
for all
Passo 1
O enunciado pede para achar todas as funções diferenciáveis
que satisfazem
para todo
. O conteúdo principal aqui é usar a diferenciação de uma igualdade que envolve uma integral dependente do limite superior (Teorema Fundamental do Cálculo) e resolver a equação diferencial resultante.
Passo 2
Diferenciando ambos os lados em relação a
, obtemos no lado esquerdo a derivada de
e no direito a integranda avaliada em
:
Igualando as duas expressões:
Reescrevendo,
Passo 3
Da igualdade
tiramos
Esta é uma equação diferencial simples cuja solução geral é
onde
é constante real.
Passo 4
Falta determinar o valor de
. Para isso, basta usar a condição original em
. Quando
o integral some e temos
porém
. Logo
Passo 5
Concluímos que as únicas soluções diferenciáveis que satisfazem a condição são
Resposta
As funções buscadas são