Choose either 2 or 3.
Find all possible differentiable functions f: R R which satisfy
(f(x))^2=integral0^x[(f(t))^2+(f^prime(t))^2] d t+2025
for all x in R.

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as funções diferenciáveis f:RtoR que satisfazem
(f(x))^2 ;=;integral0^xl[(f(t))^2+l(f'(t)r)^2r],dt ;+;2025
para todo x. O conteúdo principal aqui é usar a diferenciação de uma igualdade que envolve uma integral dependente do limite superior (Teorema Fundamental do Cálculo) e resolver a equação diferencial resultante.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos no lado esquerdo a derivada de (f(x))^2 e no direito a integranda avaliada em x:
ddxl(f(x)r)^2 ;=;2,f(x),f'(x),
ddx!gl[integral0^xl(f(t)^2 + (f'(t))^2r),dt + 2025gr] ;=;f(x)^2 + l(f'(x)r)^2
Igualando as duas expressões:
2,f(x),f'(x) ;=;f(x)^2+l(f'(x)r)^2
Reescrevendo,
(f'(x))^2 ;-;2,f(x),f'(x) ;+;f(x)^2 ;=;0 Longrightarrow l(f'(x)-f(x)r)^2=0

Passo 3

Da igualdade l(f'(x)-f(x)r)^2=0 tiramos
f'(x)-f(x)=0 Longrightarrow f'(x)=f(x)
Esta é uma equação diferencial simples cuja solução geral é
f(x)=C,e^x,
onde C é constante real.

Passo 4

Falta determinar o valor de C. Para isso, basta usar a condição original em x=0. Quando x=0 o integral some e temos
(f(0))^2=2025,
porém f(0)=C,e^0=C. Logo
C^2=2025 Longrightarrow C=pm 45

Passo 5

Concluímos que as únicas soluções diferenciáveis que satisfazem a condição são
f(x)=45,e^x e f(x)=-45,e^x

Resposta

As funções buscadas são
f(x)=45,e^x ou f(x)=-45,e^x

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