Evaluate the following integrals. Do parts a-f, then choose either g or h.
integral0^1 cos (2 arctan (x)) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^1cosl(2arctan(x)r),dx
O conteúdo principal aqui é usar identidades trigonométricas (identidade do ângulo duplo para cosseno) e depois integrar uma função racional simples.

Passo 2

Definimos theta = arctan(x). Então tan(theta)=x e vale a identidade do cosseno de ângulo duplo:
cos(2theta)=1-tan^2(theta)1+tan^2(theta)
Substituindo theta=arctan(x) obtemos
cosl(2arctan(x)r) =1 - x^21 + x^2

Passo 3

A integral vira
integral0^11 - x^21 + x^2,dx

Passo 4

Para integrar, decomponho
1 - x^21 + x^2 = 1+x^2 -2x^21+x^2 =1 - 2x^21+x^2 =1 - 2l(1 - 11+x^2r) =2cdot11+x^2-1
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integral0^11 - x^21 + x^2,dx =integral0^1l(2cdot11+x^2-1r)dx

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral 211+x^2,dx = 2arctan(x), integral 1,dx = x
Aplicando os limites de 0 a 1:
l[2arctan(x) - xr]0^1 = l(2arctan(1)-1r)-l(2arctan(0)-0r) =2cdotpi4-1 =pi2-1

Resposta

pi2-1

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