Use o método de Eliminação de Gauss com Pivotamento Parcial no sistema abaixo:
x1-3 x2+2 x3 & =11 -2 x1+8 x2-x3 & =-15 4 x1-6 x2+5 x3 & =29

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Eliminação de Gauss com Pivotamento Parcial. Estamos trabalhando com um sistema de três variáveis ( x1, x2, x3) e precisamos transformar a matriz aumentada para uma forma triangular, facilitando a resolução. Para isso, vamos precisar reorganizar as linhas para ter os maiores coeficientes possíveis nas posições de pivô e, em seguida, eliminar as variáveis de baixo para cima.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada do sistema:
1 & -3 & 2 & | & 11 -2 & 8 & -1 & | & -15 4 & -6 & 5 & | & 29

Passo 3

Agora, vamos começar com o primeiro pivô, que é o elemento da primeira linha e primeira coluna ( 1). Porém, para ter mais precisão numérica, verificamos qual linha tem o maior valor absoluto nessa coluna. Observamos que 4 (da terceira linha) é maior que 1 e -2. Então, vamos trocar a primeira linha pela terceira:
4 & -6 & 5 & | & 29 -2 & 8 & -1 & | & -15 1 & -3 & 2 & | & 11

Passo 4

Agora, vamos eliminar o x1 das linhas abaixo da primeira. Para a segunda linha:
L2 = L2 + (24)L1 = L2 + 0.5L1
Calculando:
-2 + 0.5 times 4 = 0 8 + 0.5 times (-6) = 5 -1 + 0.5 times 5 = 1.5 -15 + 0.5 times 29 = -15 + 14.5 = -0.5
Para a terceira linha:
L3 = L3 - (14)L1 = L3 - 0.25L1
Calculando:
1 - 0.25 times 4 = 0 -3 - 0.25 times (-6) = -3 + 1.5 = -1.5 2 - 0.25 times 5 = 2 - 1.25 = 0.75 11 - 0.25 times 29 = 11 - 7.25 = 3.75
A matriz fica:
4 & -6 & 5 & | & 29 0 & 5 & 1.5 & | & -0.5 0 & -1.5 & 0.75 & | & 3.75

Passo 5

Agora, vamos para o segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna ( 5). Vamos verificar se há algum valor maior em valor absoluto abaixo dele na mesma coluna. Vemos que -1.5 na terceira linha é menor. Então, não precisamos trocar as linhas.

Passo 6

Vamos eliminar o x2 da terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 0.3 e adicionamos à terceira linha:
L3 = L3 + 0.3L2
Calculando:
0 + 0 times 0.3 = 0 -1.5 + 0.3 times 5 = -1.5 + 1.5 = 0 0.75 + 0.3 times 1.5 = 0.75 + 0.45 = 1.2 3.75 + 0.3 times (-0.5) = 3.75 - 0.15 = 3.6
A matriz agora fica:
4 & -6 & 5 & | & 29 0 & 5 & 1.5 & | & -0.5 0 & 0 & 1.2 & | & 3.6

Passo 7

Com a matriz triangular, começamos a substituição retroativa. Primeiro, da terceira linha:
1.2x3 = 3.6 implies x3 = 3.61.2 = 3

Passo 8

Agora, da segunda linha:
5x2 + 1.5x3 = -0.5 5x2 + 1.5(3) = -0.5 5x2 + 4.5 = -0.5 implies 5x2 = -5 implies x2 = -1

Passo 9

Por fim, da primeira linha:
4x1 -6x2 +5x3 = 29 4x1 -6(-1) +5(3) = 29 4x1 +6 +15 = 29 implies 4x1 = 8 implies x1 = 2

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 2, x2 = -1, x3 = 3

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