Choose either 2 or 3.
A function
with continuous second derivative satisfies
Evaluate
.
A function
Evaluate
Passo 1
O enunciado dá várias integrais envolvendo
,
e
,
,
,
e pede
O conteúdo principal será uso de integração por partes para reduzir
a integrais de ordens inferiores e depois determinar valores de
em 0 e
.
Passo 2
Aplicamos integração por partes em
tomando
,
. Então
(não precisamos de
) e
. Obtemos
Como
, o termo de fronteira é zero e
Passo 3
Denote
Integramos por partes
com
,
, de modo que
. Então
Usando
,
e o dado
, fica
Passo 4
Para achar
e
, usamos os dados
e integramos por partes em
. Tomando
,
dá
pois
. Logo
.
Agora usemos
Por partes com
,
dá
de onde
.
Passo 5
Temos
e
, então
Portanto