Choose either 2 or 3.
A function f with continuous second derivative satisfies
& integral0^pi / 2 f(x) sin (x) d x=1, integral0^pi / 2 f^prime(x) sin (x) d x=3, integral0^pi / 2 f(x) sin (2 x) d x=5 & integral0^pi / 2 f(x) cos (x) d x=2, integral0^pi / 2 f^prime(x) cos (x) d x=4, integral0^pi / 2 f(x) cos (2 x) d x=6
Evaluate integral0^pi / 2 f^prime prime(x) sin (2 x) d x.

Passo 1

O enunciado dá várias integrais envolvendo f, f' e sin x, cos x, sin(2x), cos(2x) e pede
I = integral0^pi/2 f''(x),sin(2x),dx
O conteúdo principal será uso de integração por partes para reduzir I a integrais de ordens inferiores e depois determinar valores de f em 0 e pi/2.

Passo 2

Aplicamos integração por partes em
I = integral0^pi/2 f''(x),sin(2x),dx
tomando u = f''(x), dv = sin(2x),dx. Então du = f'''(x),dx (não precisamos de f''') e v = -tfrac12cos(2x). Obtemos
I = l[f'(x)sin(2x)r]0^pi/2 ;-; integral0^pi/2 f'(x),(2cos(2x)),dx
Como sin(2cdot0)=sin(pi)=0, o termo de fronteira é zero e
I = -2integral0^pi/2 f'(x),cos(2x),dx

Passo 3

Denote
A = integral0^pi/2 f'(x),cos(2x),dx
Integramos por partes A com u = f'(x), dv=cos(2x),dx, de modo que v = tfrac12sin(2x). Então
A = l[f(x),cos(2x)r]0^pi/2 -integral0^pi/2 f(x),l(-2sin(2x)r),dx = l[f(tfracpi2)cospi - f(0)cos0r] + 2integral0^pi/2 f(x),sin(2x),dx
Usando cospi=-1, cos0=1 e o dado integral0^pi/2f(x)sin(2x),dx=5, fica
A = -l(f(tfracpi2)+f(0)r) + 2cdot 5 = -l(f(tfracpi2)+f(0)r) +10

Passo 4

Para achar f(tfracpi2) e f(0), usamos os dados
integral0^pi/2 f'(x),sin x,dx =3, integral0^pi/2 f(x),sin x,dx =1,
e integramos por partes em integral f'sin x. Tomando u=f', dv=sin x,dx
3 = l[f(x)sin xr]0^pi/2 - integral0^pi/2 f(x)cos x,dx = f(tfracpi2)cdot1 - 2
pois integral0^pi/2fcos x,dx=2. Logo f(tfracpi2)=5.
Agora usemos
integral0^pi/2 f'(x),cos x,dx =4, integral0^pi/2 f(x),sin x,dx =1
Por partes com u=f', dv=cos x,dx
4 = l[f(x)cos xr]0^pi/2 + integral0^pi/2 f(x)sin x,dx = -f(0)cdot1 +1,
de onde f(0)=-3.

Passo 5

Temos f(tfracpi2)=5 e f(0)=-3, então
A = -l(5 + (-3)r) +10 = -2 +10 =8
Portanto
I = -2A = -2cdot 8 = -16

Resposta

-16

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