Suppose that a differentiable function
satisfies the equation
for all
.
Show that there are constants
and
such that
.
for all
Show that there are constants
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função
que é diferenciável e satisfaz a equação
para todo
. O objetivo é mostrar que existem constantes
e
tais que
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e integrais, além de manipular equações diferenciais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos denotar a integral
como
. Então, podemos reescrever a equação dada como:
Agora, queremos relacionar
com
e
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto na derivada do lado direito, temos:
Sabemos que
, pois
é a integral de
. Então, substituindo:
Passo 4
Agora, vamos usar a equação original
para substituir
na equação acima:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Agora, nossa meta é expressar
na forma
. Para isso, precisamos relacionar
com
.
Passo 6
Usando novamente a equação derivada,
, substituímos na equação anterior:
Simplificando:
Isso nos leva a uma identidade verdadeira, o que sugere que precisamos ajustar nossa abordagem para encontrar
e
.
Passo 7
Vamos assumir que
. Nosso objetivo é determinar os valores de
e
.
Sabemos que
, então:
Comparando com a forma desejada:
Dividindo ambos os lados por
(supondo
):
Passo 8
Agora, temos uma equação que relaciona
e
:
Lembrando que
, derivando ambos os lados em relação a
:
Como
e
, substituímos:
Simplificando, já que
e
não são zero:
Passo 9
Agora que encontramos
, substituímos de volta na equação
:
Para encontrar
, vamos considerar
. Sabemos que:
Substituindo
na equação:
Assumindo que
é finito, podemos resolver para
:
Resposta
Assim, existem constantes
e
tais que: