Suppose that a differentiable function f satisfies the equation
f^prime(x)=f(x) integral0^x f(t) d t
for all x.
Show that there are constants a and b such that f^prime(x)^2=a f(x)^3+b f(x)^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função f que é diferenciável e satisfaz a equação f^prime(x) = f(x) integral0^x f(t) , dt para todo x . O objetivo é mostrar que existem constantes a e b tais que f^prime(x)^2 = a f(x)^3 + b f(x)^2 .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e integrais, além de manipular equações diferenciais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos denotar a integral integral0^x f(t) , dt como F(x) . Então, podemos reescrever a equação dada como:
f^prime(x) = f(x) F(x)
Agora, queremos relacionar f^prime(x)^2 com f(x)^3 e f(x)^2 . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação f^prime(x) = f(x) F(x) em relação a x .

Passo 3

Aplicando a regra do produto na derivada do lado direito, temos:
f^primeprime(x) = f^prime(x) F(x) + f(x) F^prime(x)
Sabemos que F^prime(x) = f(x) , pois F(x) é a integral de f(t) . Então, substituindo:
f^primeprime(x) = f^prime(x) F(x) + f(x) f(x) = f^prime(x) F(x) + f(x)^2

Passo 4

Agora, vamos usar a equação original f^prime(x) = f(x) F(x) para substituir F(x) na equação acima:
f^primeprime(x) = f^prime(x) cdot ( f^prime(x)f(x) ) + f(x)^2 = f^prime(x)^2f(x) + f(x)^2
Multiplicando ambos os lados por f(x) para simplificar:
f(x) f^primeprime(x) = f^prime(x)^2 + f(x)^3

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar f^prime(x)^2 :
f^prime(x)^2 = f(x) f^primeprime(x) - f(x)^3
Agora, nossa meta é expressar f^prime(x)^2 na forma a f(x)^3 + b f(x)^2 . Para isso, precisamos relacionar f^primeprime(x) com f(x) .

Passo 6

Usando novamente a equação derivada, f^primeprime(x) = f^prime(x)^2f(x) + f(x)^2 , substituímos na equação anterior:
f^prime(x)^2 = f(x) ( f^prime(x)^2f(x) + f(x)^2 ) - f(x)^3 = f^prime(x)^2 + f(x)^3 - f(x)^3
Simplificando:
f^prime(x)^2 = f^prime(x)^2
Isso nos leva a uma identidade verdadeira, o que sugere que precisamos ajustar nossa abordagem para encontrar a e b .

Passo 7

Vamos assumir que f^prime(x)^2 = a f(x)^3 + b f(x)^2 . Nosso objetivo é determinar os valores de a e b .
Sabemos que f^prime(x) = f(x) F(x) , então:
f^prime(x)^2 = f(x)^2 F(x)^2
Comparando com a forma desejada:
f(x)^2 F(x)^2 = a f(x)^3 + b f(x)^2
Dividindo ambos os lados por f(x)^2 (supondo f(x) neq 0 ):
F(x)^2 = a f(x) + b

Passo 8

Agora, temos uma equação que relaciona F(x) e f(x) :
F(x)^2 = a f(x) + b
Lembrando que F(x) = integral0^x f(t) , dt , derivando ambos os lados em relação a x :
2 F(x) F^prime(x) = a f^prime(x)
Como F^prime(x) = f(x) e f^prime(x) = f(x) F(x) , substituímos:
2 F(x) f(x) = a f(x) F(x)
Simplificando, já que f(x) e F(x) não são zero:
2 = a

Passo 9

Agora que encontramos a = 2 , substituímos de volta na equação F(x)^2 = a f(x) + b :
F(x)^2 = 2 f(x) + b
Para encontrar b , vamos considerar x = 0 . Sabemos que:
F(0) = integral0^0 f(t) , dt = 0
Substituindo x = 0 na equação:
0 = 2 f(0) + b
Assumindo que f(0) é finito, podemos resolver para b :
b = -2 f(0)

Resposta

Assim, existem constantes a = 2 e b = -2 f(0) tais que:
f^prime(x)^2 = 2 f(x)^3 - 2 f(0) f(x)^2

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