Um ciclista de massa M=70 \mathrm{~kg} apóia toda a sua massa em cada movimento do pedal para baixo enquanto pedala em uma estrada íngreme. Suponha que o diâmetro da circunferência descrita pelo pedal é de \mathrm{D}=30 \mathrm{~cm}. Determine o módulo do torque máximo exercido pelo ciclista em relação ao eixo de rotação dos pedais. Considere g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
\vec{\tau}_{\text {max }}=102.9 N-m

Passo 1

O enunciado pede para determinar o módulo do torque máximo exercido pelo ciclista em relação ao eixo de rotação dos pedais.
Dados fornecidos:
M = 70\\ \mathrm{kg}
D = 30\\ \mathrm{cm}
g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}
Observação importante: o enunciado diz que o ciclista “apóia toda a sua massa em cada movimento do pedal para baixo”, ou seja, em um desses momentos a força aplicada no pedal é equivalente ao peso Mg. O objetivo é calcular o módulo do torque máximo produzido por essa força.

Passo 2

Conceito que vamos usar — o que é torque e fórmula geral:
Torque (ou momento) mede a tendência de uma força em produzir rotação em torno de um ponto ou eixo. O módulo do torque é dado por
\tau = r\,F_{\perp}
onde:
  • \tau é o módulo do torque (unidade: \mathrm{N\cdot m});
  • r é a distância do ponto de aplicação da força até o eixo de rotação (alavanca), em metros;
  • F_{\perp} é a componente da força perpendicular à linha que liga o ponto de aplicação ao eixo.
    De forma equivalente, para uma força F aplicada fazendo um ângulo \theta com o braço r,
\tau = r\,F\,\sin\theta.
O torque é máximo quando \sin\theta=1, ou seja, quando a força é perpendicular ao braço (ângulo \theta=90^\circ).

Passo 3

Determinar o braço (raio) a partir do diâmetro fornecido:
O enunciado dá o diâmetro da circunferência descrita pelo pedal \,D=30\\ \mathrm{cm}. O raio é metade do diâmetro:
r = \frac{D}{2} = \frac{30\\ \mathrm{cm}}{2} = 15\\ \mathrm{cm}.
Convertendo para metros (para usar o SI):
r = 15\\ \mathrm{cm} = 0{,}15\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar a força aplicada no pedal:
Quando o ciclista apoia toda a massa no pedal para baixo, a força vertical para baixo que ele exerce tem módulo igual ao seu peso:
F = Mg.
Substituindo \,M=70\\ \mathrm{kg} e \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
F = 70 \times 9{,}8 = 686\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular o torque máximo:
Assumimos que o pedal está num ponto em que a força é aplicada perpendicularmente ao braço (situação de torque máximo). Usando \tau_{\max} = r F:
\tau_{\max} = (0{,}15\\ \mathrm{m})\times(686\\ \mathrm{N}).
Fazendo a multiplicação:
\tau_{\max} = 0{,}15 \times 686 = 102{,}9\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Interpretação física e verificação:
  • A fórmula geral \tau = r F \sin\theta mostra que, se a força não for estritamente perpendicular, o torque será menor: por exemplo, se a força fizesse \theta=60^\circ com o braço, \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e o torque seria \tau = rF\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}, bem menor que o máximo.
  • Unidades: \mathrm{m}\times\mathrm{N}=\mathrm{N\cdot m}, que é a unidade correta de torque.
  • O valor calculado \tau_{\max}=102{,}9\\ \mathrm{N\cdot m} é consistente com os dados e com a suposição do enunciado (apoiar toda a massa num pedal).

Resposta

\tau_{\max}=102{,}9\\ \mathrm{N\cdot m}

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