Um cidadão precavido, com o intuito de programar sua aposentadoria aos 65 anos, pretende investir certa quantia C0 reais em um fundo de investimentos que paga juros de 4 % ao ano, compostos diariamente. Sabendo que o cidadão tem atualmente 30 anos, determine quanto deve ser o capital investido para que ele disponha de 200.000 reais ao se aposentar.
10. Um determinado bem sofre depreciação contínua de seu valor inicial à taxa de 5 % ao ano. Determine quanto tempo será necessário para que o valor do bem atinja 1 / 3 do seu valor inicial.
11. Um investidor deposita um certo capital em fundo de investimento que rende juros de 7 % ao ano, compostos continuamente. O governo retém 30 % do rendimento obtido, sob forma de impostos e o investidor deseja sacar suas economias quando o montante investido ultrapassar o dobro do montante inicial.

Passo 1

O enunciado traz três problemas de matemática financeira e decaimento exponencial:
  1. Um investidor de 30 anos deseja acumular ,200,000 reais aos 65 anos em um fundo que paga 4% ao ano, compostos diariamente. Precisamos encontrar o capital inicial C0.
  2. Um bem sofre depreciação contínua a 5% ao ano. Queremos o tempo até o valor ser tfrac13 do inicial.
  3. Um fundo rende 7% ao ano, compostos continuamente, mas o governo retém 30% do rendimento. O investidor quer saber quando o montante será o dobro do inicial.

Passo 2

Problema 1: juros compostos diários. A taxa diária é tfrac0,04365 e o período é de 35 anos times365 dias. A fórmula do montante é
200000 = C0l(1 + tfrac0,04365r)^35cdot365
Isolando C0,
C0 = 200000l(1 + tfrac0,04365r)^12775 approx 4,93times10^4 reais

Passo 3

Problema 2: depreciação contínua a 5% ao ano segue
V(t) = V0,e^-0,05,t
Queremos V(t)=tfrac13V0, logo
e^-0,05,t = tfrac13 Longrightarrow t = ln(3)0,05 approx 21,97 anos

Passo 4

Problema 3: juros contínuos a 7% ao ano com imposto de 30% sobre o rendimento. A taxa líquida é
rlíq = 0,07,(1-0,30)=0,049 í
O montante é
M(t)=C0,e^0,049,t
Para M(t)=2C0,
e^0,049,t=2 Longrightarrow t=ln(2)0,049 approx 14,14 anos

Resposta

  1. C0approx R$49,300.
  2. tapprox 21,97 anos.
  3. tapprox 14,14 anos.

Exercícios relacionados