Deseja-se construir uma caixa d’água, de formato cilíndrico, com área total de 2400 \pi \mathrm{~cm}^{2}. Encontre as dimensões da caixa que maximizam o seu volume Dica: V=\pi r^{2} h e A_{t}=2 \pi r^{2}+2 \pi r h.

Passo 1

O enunciado pede que, entre todos os cilindros com área total \,2400\pi\mathrm{\,cm}^2, encontremos aquele que maximiza o volume.
Conteúdo: otimização de função de uma variável com restrição.
Fórmulas fundamentais:
V = \pi r^2 h,
A_t = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2400\pi.

Passo 2

A partir de
2\pi r^2 + 2\pi r h = 2400\pi,
isolamos h em função de r:
2\pi r h = 2400\pi - 2\pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{2400\pi - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{2400 - 2r^2}{2r}.

Passo 3

Substituímos h em
\,V=\pi r^2 h\, para obter V só em função de r:
V(r) = \pi r^2 \cdot \frac{2400 - 2r^2}{2r} = \frac{\pi}{2}\bigl(2400r - 2r^3\bigr) = 1200\pi\,r \;-\;\pi\,r^3.

Passo 4

Para maximizar usamos V'(r)=0:
V'(r) = 1200\pi - 3\pi r^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 1200 - 3r^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = 400 \quad\Longrightarrow\quad r = 20\mathrm{\,cm}.

Passo 5

Verificamos ser máximo pela segunda derivada:
V''(r) = -6\pi r < 0 \quad\text{para }r>0,
logo r=20\mathrm{\,cm} dá máximo de volume.

Passo 6

Calculamos h em r=20:
h = \frac{2400 - 2\cdot 20^2}{2\cdot 20} = \frac{2400 - 800}{40} = \frac{1600}{40} = 40\mathrm{\,cm}.

Resposta

Raio r = 20\mathrm{\,cm} e altura h = 40\mathrm{\,cm}.

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