Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x^4y^3+4x^2y
Vamos aplicar a regra da potência e a regra do produto, lembrando que, ao derivar em relação a x, tratamos y como constante, e ao derivar em relação a y, tratamos x como constante.

Passo 2

Derivada parcial em relação a x.
Para x^4y^3, temos
partialpartial xl(x^4y^3r)=4x^3y^3,
pois y^3 é constante.
Para 4x^2y, temos
partialpartial xl(4x^2yr)=4cdot 2xcdot y=8xy
Somando os resultados,
fx(x,y)=4x^3y^3+8xy

Passo 3

Derivada parcial em relação a y.
Para x^4y^3, temos
partialpartial yl(x^4y^3r)=x^4cdot 3y^2=3x^4y^2,
pois x^4 é constante.
Para 4x^2y, temos
partialpartial yl(4x^2yr)=4x^2cdot1=4x^2
Somando os resultados,
fy(x,y)=3x^4y^2+4x^2

Resposta

fx(x,y)=4x^3y^3+8xy,
fy(x,y)=3x^4y^2+4x^2

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