Uma cidade do interior do estado de São Paulo está interessada em estimar a proporção de moradores contaminados pela dengue.
a) Determine o tamanho da amostra para que o erro cometido na estimação seja no máximo 0,02 com probabilidade 0,99;
b) Se tivermos uma informação adicional de que a proporção de contaminados com dengue é no máximo 20 \%, qual deverá ser o tamanho da amostra?
c) Por problemas operacionais, o tamanho da amostra foi limitado a 200 moradores. Nesta amostra foram observados 15 \% de moradores contaminados. Construa um IC 95 \% para p.

Passo 1

O enunciado pede três itens relacionados à estimação de proporção p de moradores contaminados pela dengue:
a) determinar o tamanho da amostra para que o erro máximo seja E=0,02 com confiança 99\%;
b) refazer (a) sabendo que a proporção verdadeira satisfaz p\le0,2;
c) com amostra limitada a n=200 e proporção observada \hat p=0,15, construir intervalo de confiança de 95\% para p.
Para isso, vamos usar a fórmula do tamanho de amostra
n \;=\;\frac{z_{1-\alpha/2}^2\,p(1-p)}{E^2}
e, depois, a fórmula do intervalo de confiança para proporção
\hat p \;\pm\; z_{1-\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}}.

Passo 2

Para o item (a) não temos informação prévia sobre p, então adotamos o caso mais conservador p(1-p) máximo em p=0,5. Como queremos confiança de 99\%, tomamos
z_{1-\alpha/2}=z_{0,995}\approx2{,}5758, E=0,02 e p(1-p)=0,5\cdot0,5=0,25. Logo,
n \;=\;\frac{(2{,}5758)^2\cdot0,25}{(0,02)^2} \;=\;\frac{6{,}6349\cdot0,25}{0,0004} \;=\;\frac{1{,}6587}{0,0004} \;\approx4\,146{,}8.
Arredondando para cima, obtemos n=4\,147.

Passo 3

Para o item (b) sabemos que p\le0,2. O produto p(1-p) é então no máximo em p=0,2, onde
p(1-p)=0,2\cdot0,8=0,16.
Mantendo z_{0,995}=2{,}5758 e E=0,02, temos
n \;=\;\frac{(2{,}5758)^2\cdot0,16}{(0,02)^2} \;=\;\frac{6{,}6349\cdot0,16}{0,0004} \;=\;\frac{1{,}0616}{0,0004} \;\approx2\,654.
Arredondando para cima, n=2\,654.

Passo 4

Para o item (c) temos n=200 e proporção amostral \hat p=0,15. Queremos um IC de 95\%, então
z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}\approx1{,}96.
O erro-padrão é
\mathrm{SE} =\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} =\sqrt{\frac{0,15\cdot0,85}{200}} =\sqrt{0,0006375} \approx0,02525.
O meio do comprimento do intervalo (margem de erro) é
E_{IC} =1{,}96\times0,02525 \approx0,0495.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% é
0,15\;\pm\;0,0495 \;\Longrightarrow\;(0,1005,\;0,1995).

Resposta

a) n=4\,147
b) n=2\,654
c) IC_{95\%}=(0,1005,\;0,1995)

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