Numa pesquisa de mercado, 114 dentre 300 entrevistados afirmaram que comprariam o produto W- Power. O fabricante estabeleceu que manteria a venda do produto se o limite inferior de um IC de 95 \% para a proporção de compradores, fosse maior do que 30 \%(0,30).
a) A partir do resultado da pesquisa, qual a decisão do fabricante do produto.
b) Neste caso, você acha viável considerar o método conservativo, com p=0,5 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que numa amostra de n=300 entrevistados, x=114 afirmaram que comprariam o produto W-Power. O fabricante só continuará vendendo se o limite inferior de um intervalo de confiança de 95\% para a proporção de compradores for maior do que 0,30. Para resolver, vamos usar o intervalo de confiança aproximado para proporção, baseado na distribuição normal (método z).

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat{p} e a margem de erro E.
\hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{114}{300}=0,38.
A variância estimada de \hat{p} é
\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}=\frac{0,38\,(1-0,38)}{300}=\frac{0,2356}{300}\approx0,0007853,
logo o desvio-padrão de \hat{p} é
\sqrt{0,0007853}\approx0,0280.
Para 95\%, adota-se z_{0,975}=1,96, de modo que
E = 1,96\;\times0,0280\approx0,0549.

Passo 3

Construir o intervalo de confiança de 95\%:
\hat{p}\pm E = 0,38\pm0,0549.
Portanto
\text{limite inferior} = 0,38 - 0,0549 = 0,3251.
Como 0,3251 > 0,30, o fabricante deve manter a venda do produto.

Passo 4

O “método conservativo” assume p=0,5 (o pior caso, que maximiza a variância) quando não há estimativa prévia de p. Nesse caso, a margem de erro seria
E_{\text{cons}} = 1,96\;\sqrt{\frac{0,5\,(1-0,5)}{300}} =1,96\;\sqrt{\frac{0,25}{300}} \approx1,96\times0,0289=0,0566,
e a base do IC seria 0,38-0,0566=0,3234, ainda maior que 0,30.
Porém, como já temos \hat{p}, usar p=0,5 não é viável: o método conservativo só vale na fase de planejamento da amostra quando não se conhece nenhuma estimativa de p. Aqui ele apenas alarga desnecessariamente o intervalo.

Resposta

a) Deve manter a venda do produto.
b) Não é viável usar o método conservativo, pois já dispomos de \hat{p} e esse método só se justifica na ausência de estimativa prévia, além de produzir margem de erro maior sem necessidade.

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