Uma empresa de transporte tem na sua frota caminhões com motores a diesel e a gasolina. Os donos da empresa desejam trocar toda a sua frota para caminhões com motores a gasolina, no entanto, para realizar toda a troca existe um fator de grande influência na decisão que é o gasto com combustível. O supervisor de frota foi encarregado de anotar os gastos com combustível com os dois tipos de motores. Os dados da análise são apresentados nas tabelas abaixo (as análises foram feitas no SAS).
The MEANS Pr Variável: combustivel
MOTOR N Média Mediana Variância
DIESEL 23 10,106 9,770 4,362
GASOLINA 34 11,312 10,715 9,025
a) Construa um IC para a diferença entre as médias de consumo por combustível?
b) Como estatístico da empresa, que orientação você daria aos donos?

Passo 1

O enunciado nos dá duas amostras independentes de gastos com combustível: uma de caminhões a diesel com N_{D}=23, média \bar x_{D}=10,106 e variância s_{D}^{2}=4,362, e outra de caminhões a gasolina com N_{G}=34, média \bar x_{G}=11,312 e variância s_{G}^{2}=9,025. Queremos um intervalo de confiança de 95\% para \mu_{G}-\mu_{D}, a diferença entre as médias de consumo. Como as variâncias das amostras parecem diferentes, usamos o intervalo de Welch, cuja forma é
(\bar x_{G}-\bar x_{D})\pm t_{\nu,\,0,975}\,\sqrt{\frac{s_{G}^{2}}{N_{G}}+\frac{s_{D}^{2}}{N_{D}}}\,.

Passo 2

Calculamos o erro padrão da diferença:
SE=\sqrt{\frac{s_{G}^{2}}{N_{G}}+\frac{s_{D}^{2}}{N_{D}}} =\sqrt{\frac{9,025}{34}+\frac{4,362}{23}} \approx0,6747.
Estimamos os graus de liberdade \nu por Welch:
\nu\approx\frac{\bigl(\frac{s_{G}^{2}}{N_{G}}+\frac{s_{D}^{2}}{N_{D}}\bigr)^{2}} {\frac{(s_{G}^{2}/N_{G})^{2}}{N_{G}-1}+\frac{(s_{D}^{2}/N_{G})^{2}}{N_{D}-1}} \approx55.

Passo 3

O valor crítico é t_{0,975,\,55}\approx2,004.
A diferença amostral é
\bar x_{G}-\bar x_{D}=11,312-10,106=1,206.
Logo o intervalo de confiança é
1,206\pm2,004\times0,6747 \;\Longrightarrow\; (-0,146,\;2,558).

Passo 4

Como o intervalo inclui zero, não há evidência de diferença significativa no gasto médio entre motores a gasolina e a diesel ao nível de 5\%.

Resposta

a) Intervalo de confiança de 95\% para \mu_{G}-\mu_{D}: (-0,146;\;2,558).
b) A recomendação é que, do ponto de vista do gasto com combustível, não se espere diferença estatisticamente significativa entre os dois tipos de motor, de modo que a decisão de trocar a frota não deve se basear apenas neste critério.

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