Um experimento foi realizado para se avaliar o efeito do ozônio em duas variedades de azaleias. Foi medida a área danificada das folhas após três dias exposição ( \mathrm{mm}^{2} ) de cada variedade, a uma concentração constante do gás. Os resultados são do SAS.
MEANS PROCEDURE - Variable: area danificada
Tipo N Média D.Padrão Erro Padrão
Tipo 1 10 0,719 0,719 0,22737
Tipo 2 14 0,293 0,500 0,13363
a) Você acha razoável considerar as variâncias iguais? Justifique.
b) Construa um IC de confiança para a diferença entre as médias das áreas danificadas.
c) O que se pode concluir a respeito?

Passo 1

O enunciado compara duas amostras independentes de azaleias (Tipo 1 e Tipo 2) quanto à área danificada (em \mathrm{mm}^2) após exposição ao ozônio. Temos:
N_1=10,\;\bar x_1=0,719,\;s_1=0,719,
N_2=14,\;\bar x_2=0,293,\;s_2=0,500.
O conteúdo é comparação de duas médias com variâncias (potencialmente) iguais. Vamos (i) testar a igualdade de variâncias e, se razoável, (ii) construir intervalo de confiança (IC) para \mu_1-\mu_2.

Passo 2

Para ver se vale a suposição de variâncias iguais, fazemos o teste de razão de variâncias ( F-teste):
F = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{0,719^2}{0,500^2} = \frac{0,517}{0,250} \approx 2,07.
Esse valor deve ser comparado com os valores críticos de F com 9 e 13 graus de liberdade, em nível \alpha=0{,}05 (teste bilateral). Tipicamente
F_{0{,}975}(9,13)\approx 3{,}7 \quad\text{e}\quad F_{0{,}025}(9,13)=1/F_{0{,}975}(13,9)\approx 0{,}27.
Como 0{,}27 < 2{,}07 < 3{,}7, não rejeitamos H_0\colon\sigma_1^2=\sigma_2^2. Logo, é razoável assumir variâncias iguais.

Passo 3

Assumindo variâncias iguais, calculamos a variância agrupada:
s_p^2 =\frac{(N_1-1)s_1^2 + (N_2-1)s_2^2}{N_1+N_2-2} =\frac{9\cdot0,719^2 + 13\cdot0,500^2}{10+14-2} =\frac{4,653 + 3,250}{22} \approx 0,3592,
s_p = \sqrt{0,3592}\approx 0,5993.
O erro padrão da diferença de médias é
SE = s_p\sqrt{\frac1{N_1} + \frac1{N_2}} =0,5993\sqrt{\frac1{10}+\frac1{14}} \approx0,2476.

Passo 4

Para montar o IC de 95\% para \mu_1-\mu_2, usamos t_{0{,}975}(22)\approx2,074. Assim,
(\bar x_1-\bar x_2)\pm t_{0{,}975}\,SE =0,719-0,293 \pm 2,074\cdot0,2476 =0,426 \pm 0,514.
Logo o intervalo é
[-0,088,\;0,940].

Passo 5

Como o IC inclui zero, não há evidência de diferença significativa entre as médias das áreas danificadas das duas variedades ao nível de 95\%.

Resposta

a) Sim, pois a estatística F\approx2,07 cai dentro dos limites de não rejeição para F(9,13) em \alpha=0,05.
b) Um IC de 95\% para \mu_1-\mu_2 é [-0,088,\;0,940].
c) Como o intervalo contém zero, concluímos que não há diferença estatisticamente significativa entre as médias das áreas danificadas das duas variedades.

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