Q1) Num julgamento estima-se que a probabilidade de Luís ser culpado é 0,2 . São chamadas duas testemunhas. Se Luís realmente for culpado, Alberto dirá certamente que é culpado e Carlos dirá que é culpado com probabilidade 0,6 . Se Luís for inocente, Alberto dirá com probabilidade 0,3 que é inocente e Carlos dirá certamente que é inocente.
a) Qual a probabilidade de Alberto dizer que Luís é inocente
b) Qual a probabilidade de Luís ser inocente se Carlos disse que é inocente?
a) Qual a probabilidade de Alberto dizer que Luís é inocente
b) Qual a probabilidade de Luís ser inocente se Carlos disse que é inocente?
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Temos que calcular a probabilidade de Alberto dizer que Luís é inocente. Sabemos que a probabilidade de Luís ser culpado é 0,2, o que significa que a probabilidade dele ser inocente é 0,8. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Probabilidade Total, que nos ajuda a considerar todas as possibilidades que podem levar ao evento que estamos analisando.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas situações possíveis:
- Luís é culpado: Nesse caso, Alberto dirá certamente que Luís é culpado.
- Luís é inocente: Aqui, Alberto dirá que Luís é inocente com uma probabilidade de 0,3.
Passo 3
Agora, vamos calcular a contribuição de cada uma dessas situações para a probabilidade total de Alberto dizer que Luís é inocente.
-
Se Luís é culpado:
- Probabilidade de Luís ser culpado:
- Probabilidade de Alberto dizer inocente dado que Luís é culpado:
(porque ele dirá culpado com certeza)
- Probabilidade de Luís ser culpado:
-
Se Luís é inocente:
- Probabilidade de Luís ser inocente:
- Probabilidade de Alberto dizer inocente dado que Luís é inocente:
- Probabilidade de Luís ser inocente:
Passo 4
Aplicando o Teorema da Probabilidade Total:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda parte do exercício: determinar a probabilidade de Luís ser inocente dado que Carlos disse que ele é inocente. Para isso, usaremos o Teorema de Bayes, que nos permite atualizar nossas probabilidades com base em novas informações.
Passo 6
Primeiro, vamos identificar as informações fornecidas:
-
Probabilidades prévias:
-
(Luís é culpado) -
(Luís é inocente)
-
-
Probabilidades condicional:
- Se Luís é culpado, Carlos dirá inocente com probabilidade
(já que ele dirá culpado com 0,6) - Se Luís é inocente, Carlos dirá inocente com certeza
- Se Luís é culpado, Carlos dirá inocente com probabilidade
Passo 7
Aplicando o Teorema de Bayes:
Onde
é a probabilidade total de Carlos dizer inocente, calculada pela Regra da Probabilidade Total:
Passo 8
Substituindo os valores na fórmula de Bayes:
Resposta
A probabilidade de Luís ser inocente, dado que Carlos disse que ele é inocente, é aproximadamente 0,9091 (ou 90,91%).