Q1) Num julgamento estima-se que a probabilidade de Luís ser culpado é 0,2 . São chamadas duas testemunhas. Se Luís realmente for culpado, Alberto dirá certamente que é culpado e Carlos dirá que é culpado com probabilidade 0,6 . Se Luís for inocente, Alberto dirá com probabilidade 0,3 que é inocente e Carlos dirá certamente que é inocente.
a) Qual a probabilidade de Alberto dizer que Luís é inocente
b) Qual a probabilidade de Luís ser inocente se Carlos disse que é inocente?

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos que calcular a probabilidade de Alberto dizer que Luís é inocente. Sabemos que a probabilidade de Luís ser culpado é 0,2, o que significa que a probabilidade dele ser inocente é 0,8. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Probabilidade Total, que nos ajuda a considerar todas as possibilidades que podem levar ao evento que estamos analisando.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas situações possíveis:
  1. Luís é culpado: Nesse caso, Alberto dirá certamente que Luís é culpado.
  2. Luís é inocente: Aqui, Alberto dirá que Luís é inocente com uma probabilidade de 0,3.

Passo 3

Agora, vamos calcular a contribuição de cada uma dessas situações para a probabilidade total de Alberto dizer que Luís é inocente.
  • Se Luís é culpado:
    • Probabilidade de Luís ser culpado: P(C) = 0,2
    • Probabilidade de Alberto dizer inocente dado que Luís é culpado: P(Ai | C) = 0 (porque ele dirá culpado com certeza)
  • Se Luís é inocente:
    • Probabilidade de Luís ser inocente: P(I) = 0,8
    • Probabilidade de Alberto dizer inocente dado que Luís é inocente: P(Ai | I) = 0,3

Passo 4

Aplicando o Teorema da Probabilidade Total:
P(Ai) = P(I) times P(Ai | I) + P(C) times P(Ai | C)
Substituindo os valores:
P(Ai) = 0,8 times 0,3 + 0,2 times 0 = 0,24 + 0 = 0,24

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda parte do exercício: determinar a probabilidade de Luís ser inocente dado que Carlos disse que ele é inocente. Para isso, usaremos o Teorema de Bayes, que nos permite atualizar nossas probabilidades com base em novas informações.

Passo 6

Primeiro, vamos identificar as informações fornecidas:
  • Probabilidades prévias:
    • P(C) = 0,2 (Luís é culpado)
    • P(I) = 0,8 (Luís é inocente)
  • Probabilidades condicional:
    • Se Luís é culpado, Carlos dirá inocente com probabilidade P(Ci | C) = 0,4 (já que ele dirá culpado com 0,6)
    • Se Luís é inocente, Carlos dirá inocente com certeza P(Ci | I) = 1

Passo 7

Aplicando o Teorema de Bayes:
P(I | Ci) = P(Ci | I) times P(I)P(Ci)
Onde P(Ci) é a probabilidade total de Carlos dizer inocente, calculada pela Regra da Probabilidade Total:
P(Ci) = P(Ci | I) times P(I) + P(Ci | C) times P(C) = 1 times 0,8 + 0,4 times 0,2 = 0,8 + 0,08 = 0,88

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula de Bayes:
P(I | Ci) = 1 times 0,80,88 = 0,80,88 approx 0,9091

Resposta

A probabilidade de Luís ser inocente, dado que Carlos disse que ele é inocente, é aproximadamente 0,9091 (ou 90,91%).

Exercícios relacionados