Em uma cidade com n+1 habitantes, uma pessoa conta um boato para outra pessoa, a qual, por sua vez, conta o boato para uma terceira pessoa, e assim por diante. Evidentemente ninguém é distraído a ponto de contar o boato para quem lhe havia contado o boato. Determine a probabilidade do boato ser contado k vezes:
sem retornar ao inventor do boato.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma cidade com $ n + 1 $ habitantes, onde uma pessoa começa um boato que vai sendo contado de uma para outra. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a probabilidade de esse boato ser contado exatamente $ k $ vezes sem que retorne para a pessoa que o inventou. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade e combinatória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas opções cada pessoa tem para contar o boato. No começo, o inventor do boato tem $ n $ opções para contar a alguém, já que não pode contar para si mesmo.

Passo 3

Depois que a primeira pessoa recebe o boato, essa pessoa também tem $ n $ opções para contar o boato para outro alguém. Isso porque ela não pode contar de volta para a pessoa que lhe contou o boato (o inventor). Então, a cada novo passo, temos $ n $ escolhas possíveis.

Passo 4

Como queremos que o boato seja contado exatamente $ k $ vezes, precisamos multiplicar as opções em cada etapa. Então, o número total de maneiras de contar o boato $ k $ vezes sem retornar ao inventor é $ n^k $.

Passo 5

Agora, vamos calcular o número total de maneiras que o boato pode ser contado $ k $ vezes, sem qualquer restrição. Na primeira vez, o inventor tem $ n $ opções, e a cada vez após isso, cada pessoa tem $ n + 1 - 1 = n $ opções (já que há $ n + 1 $ habitantes no total e não pode contar para si mesma). Então, o total também é $ n^k $.

Passo 6

No entanto, como queremos a probabilidade de certas condições serem atendidas (não retornar ao inventor), precisamos considerar todas as possibilidades. A probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos possíveis.

Passo 7

Mas, como vimos, o número de maneiras favoráveis e o número total de maneiras são os mesmos ($ n^k $). Isso significa que todas as sequências possíveis já estão de acordo com nossa condição de não retornar ao inventor.

Resposta

A probabilidade de o boato ser contado $ k $ vezes sem retornar ao inventor é $ 1 $.

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