jogadores de igual habilidade disputam um torneio. Eles são divididos em grupos de 2, ao acaso, e jogadores de um mesmo grupo jogam entre si. Os perdedores são eliminados e os vencedores são divididos novamente em grupos de 2 e assim por diante até restar apenas um jogador que é proclamado campeão. Qual é a probabilidade dois jogadores
e
se enfrentarem durante o torneio. Qual é a probabilidade do jogador
jogar exatamente
partidas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um torneio com
jogadores que são todos igualmente habilidosos. Esses jogadores são emparelhados aleatoriamente em duplas, jogam entre si, e os perdedores são eliminados. O processo continua até restar apenas um campeão. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
- Qual a probabilidade de dois jogadores específicos, digamos
e , se enfrentarem durante o torneio. - Qual a probabilidade do jogador
jogar exatamente partidas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e entender como funcionam os torneios de eliminação direta.
Passo 2
Vamos começar respondendo à primeira pergunta: Qual a probabilidade de
e
se enfrentarem durante o torneio?
Primeiro, observamos que em cada rodada, os jogadores são agrupados aleatoriamente em duplas. O torneio é de eliminação direta, então a cada partida, a quantidade de jogadores é reduzida pela metade. O total de partidas em um torneio com
jogadores é sempre
, já que cada partida elimina um jogador e precisamos eliminar
jogadores para ter apenas um campeão.
Agora, queremos saber a chance específica de
e
se enfrentarem em alguma dessas
partidas.
A quantidade total de pares possíveis de jogadores é dada por:
Cada partida é uma escolha aleatória de um desses pares. Portanto, a probabilidade de qualquer par específico, como
e
, se enfrentarem em uma única partida é:
Como existem
partidas no total, a probabilidade de que
e
se enfrentem em qualquer uma dessas partidas é:
Então, a probabilidade de
e
se enfrentarem durante o torneio é
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda pergunta: Qual a probabilidade do jogador
jogar exatamente
partidas?
Para que o jogador
jogue exatamente
partidas, ele precisa vencer as primeiras
partidas e então perder na
-ésima partida. Vamos entender isso passo a passo.
- Vencer as primeiras
partidas: Cada partida tem duas possibilidades: vitória ou derrota, com igual probabilidade de . Portanto, a probabilidade de vencer uma partida é . Para vencer partidas consecutivas, a probabilidade é:
- Perder na
-ésima partida: A probabilidade de perder uma partida é também . Então, a probabilidade de perder na -ésima partida é .
Agora, combinando esses dois eventos (vencer
vezes e perder na
-ésima), temos:
Portanto, a probabilidade de que o jogador
jogue exatamente
partidas é
.
Resposta
-
A probabilidade de que os jogadores
e se enfrentem durante o torneio é . -
A probabilidade de que o jogador
jogue exatamente partidas é .