2^n jogadores de igual habilidade disputam um torneio. Eles são divididos em grupos de 2, ao acaso, e jogadores de um mesmo grupo jogam entre si. Os perdedores são eliminados e os vencedores são divididos novamente em grupos de 2 e assim por diante até restar apenas um jogador que é proclamado campeão. Qual é a probabilidade dois jogadores A e B se enfrentarem durante o torneio. Qual é a probabilidade do jogador A jogar exatamente k partidas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um torneio com 2^n jogadores que são todos igualmente habilidosos. Esses jogadores são emparelhados aleatoriamente em duplas, jogam entre si, e os perdedores são eliminados. O processo continua até restar apenas um campeão. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
  1. Qual a probabilidade de dois jogadores específicos, digamos A e B, se enfrentarem durante o torneio.
  2. Qual a probabilidade do jogador A jogar exatamente k partidas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e entender como funcionam os torneios de eliminação direta.

Passo 2

Vamos começar respondendo à primeira pergunta: Qual a probabilidade de A e B se enfrentarem durante o torneio?
Primeiro, observamos que em cada rodada, os jogadores são agrupados aleatoriamente em duplas. O torneio é de eliminação direta, então a cada partida, a quantidade de jogadores é reduzida pela metade. O total de partidas em um torneio com 2^n jogadores é sempre 2^n - 1, já que cada partida elimina um jogador e precisamos eliminar 2^n - 1 jogadores para ter apenas um campeão.
Agora, queremos saber a chance específica de A e B se enfrentarem em alguma dessas 2^n - 1 partidas.
A quantidade total de pares possíveis de jogadores é dada por:
binom2^n2 = 2^n(2^n - 1)2
Cada partida é uma escolha aleatória de um desses pares. Portanto, a probabilidade de qualquer par específico, como A e B, se enfrentarem em uma única partida é:
1binom2^n2 = 22^n(2^n - 1)
Como existem 2^n - 1 partidas no total, a probabilidade de que A e B se enfrentem em qualquer uma dessas partidas é:
(2^n - 1) times 22^n(2^n - 1) = 22^n = 12^n-1
Então, a probabilidade de A e B se enfrentarem durante o torneio é 12^n-1.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda pergunta: Qual a probabilidade do jogador A jogar exatamente k partidas?
Para que o jogador A jogue exatamente k partidas, ele precisa vencer as primeiras k-1 partidas e então perder na k-ésima partida. Vamos entender isso passo a passo.
  1. Vencer as primeiras k-1 partidas: Cada partida tem duas possibilidades: vitória ou derrota, com igual probabilidade de 12. Portanto, a probabilidade de vencer uma partida é 12. Para vencer k-1 partidas consecutivas, a probabilidade é:
(12)^k-1
  1. Perder na k-ésima partida: A probabilidade de perder uma partida é também 12. Então, a probabilidade de perder na k-ésima partida é 12.
Agora, combinando esses dois eventos (vencer k-1 vezes e perder na k-ésima), temos:
(12)^k-1 times 12 = (12)^k
Portanto, a probabilidade de que o jogador A jogue exatamente k partidas é (12)^k.

Resposta

  1. A probabilidade de que os jogadores A e B se enfrentem durante o torneio é boxeddfrac12^n-1.
  2. A probabilidade de que o jogador A jogue exatamente k partidas é boxed(dfrac12)^k.

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