Qual é a probabilidade de serem obtidas exatamente 5 caras em 10 lançamentos de uma moeda não-tendenciosa?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pergunta qual a probabilidade de sair exatamente 5 caras em 10 lançamentos de uma moeda que não é tendenciosa, ou seja, ela tem 50% de chance de dar cara e 50% de coroa. A matéria que vamos usar aqui é Probabilidade, mais especificamente a Distribuição Binomial. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distribuição binomial, que ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da Distribuição Binomial. A probabilidade de conseguir exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas é dada por:
k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ (1-p) $ é a probabilidade de fracasso.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • $ n = 10 $ (número de lançamentos)
  • $ k = 5 $ (número de caras que queremos)
  • $ p = 0.5 $ (probabilidade de sair cara em um lançamento)
Agora, vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{10}{5} $:
n = 10

Passo 4

Com o coeficiente binomial calculado, vamos substituir na fórmula:
P(5) = 252 times (0.5)^5 times (0.5)^10-5
Simplificando:
P(5) = 252 times (0.5)^10
P(5) = 252 times 11024
P(5) approx 0.246

Resposta

A probabilidade de sair exatamente 5 caras em 10 lançamentos de uma moeda não-tendenciosa é de aproximadamente 24,6%.

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