Em uma cidade, as pessoas falam a verdade com probabilidade 13. Suponha que A faz uma afirmação e que D diz que C diz que B diz que A falou a verdade. Qual a probabilidade de A ter falado a verdade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos diz que, numa cidade, as pessoas falam a verdade com probabilidade 13. O cenário é o seguinte: A faz uma afirmação, e depois B, C e D repetem essa afirmação em sequência. Queremos descobrir qual é a probabilidade de A realmente ter falado a verdade, dado que D disse que C disse que B disse que A falou a verdade. Vamos usar conceitos de probabilidade condicional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada pessoa pode dizer a verdade ou mentir de forma independente, com probabilidade 13 de dizer a verdade e 23 de mentir. Queremos rastrear essa cadeia de informações:
A fala a verdade ou mente.
B repete o que A disse, podendo dizer a verdade ou mentir.
C repete o que B disse, também podendo dizer a verdade ou mentir.
D repete o que C disse, novamente podendo dizer a verdade ou mentir.

Passo 3

Vamos chamar de T o evento “A falou a verdade” e de F o evento “A mentiu”. Sabemos que:
P(T) = 13
P(F) = 23
Queremos encontrar P(T | D diz que C diz que B diz que A falou a verdade ). Para simplificar, vamos considerar cada etapa da cadeia.

Passo 4

Começando com A:
  • Se A fala a verdade ( T), então B tem que reportar “A falou a verdade”. Mas B pode dizer a verdade ou mentir sobre isso.
  • Se A mente ( F), então B tem que reportar “A mentiu”, mas B pode dizer a verdade ou mentir.

Passo 5

Vamos calcular a probabilidade de cada cenário ao longo da cadeia:
  1. A fala a verdade ( T):
    • B diz a verdade: “A falou a verdade” com probabilidade 13.
    • B mente: “A mentiu” com probabilidade 23.
  2. A mente ( F):
    • B diz a verdade: “A mentiu” com probabilidade 13.
    • B mente: “A falou a verdade” com probabilidade 23.

Passo 6

Agora, consideramos que C repete o que B disse, e D repete o que C disse. Cada repetição pode ser verdadeira ou uma mentira independente com as mesmas probabilidades 13 e 23.
Isso significa que a probabilidade de a afirmação “A falou a verdade” ser transmitida corretamente através de cada pessoa é multiplicada por 13, e de ser invertida por 23.

Passo 7

Vamos calcular a probabilidade final de D reportar “A falou a verdade” corretamente, dado que A falou a verdade ( T) ou mentiu ( F).
  • Se A falou a verdade ( T):
    P(D diz “A falou a verdade” | T) = (13)^3 = 127
  • Se A mentiu ( F):
    P(D diz “A falou a verdade” | F) = (23)^3 = 827

Passo 8

Usamos o Teorema de Bayes para encontrar P(T | D diz “A falou a verdade” ):
P(T | D) = P(D | T) cdot P(T)P(D | T) cdot P(T) + P(D | F) cdot P(F)
Substituindo os valores:
P(T | D) = 127 cdot 13127 cdot 13 + 827 cdot 23 = 181181 + 1681 = 117

Resposta

A probabilidade de A ter falado a verdade é 117.

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