Em uma cidade, as pessoas falam a verdade com probabilidade
. Suponha que
faz uma afirmação e que
diz que
diz que
diz que
falou a verdade. Qual a probabilidade de
ter falado a verdade?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos diz que, numa cidade, as pessoas falam a verdade com probabilidade
. O cenário é o seguinte:
faz uma afirmação, e depois
,
e
repetem essa afirmação em sequência. Queremos descobrir qual é a probabilidade de
realmente ter falado a verdade, dado que
disse que
disse que
disse que
falou a verdade. Vamos usar conceitos de probabilidade condicional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada pessoa pode dizer a verdade ou mentir de forma independente, com probabilidade
de dizer a verdade e
de mentir. Queremos rastrear essa cadeia de informações:
Passo 3
Vamos chamar de
o evento “A falou a verdade” e de
o evento “A mentiu”. Sabemos que:
Queremos encontrar
diz que
diz que
diz que
falou a verdade
. Para simplificar, vamos considerar cada etapa da cadeia.
Passo 4
Começando com
:
-
Se
fala a verdade ( ), então tem que reportar “A falou a verdade”. Mas pode dizer a verdade ou mentir sobre isso. -
Se
mente ( ), então tem que reportar “A mentiu”, mas pode dizer a verdade ou mentir.
Passo 5
Vamos calcular a probabilidade de cada cenário ao longo da cadeia:
-
fala a verdade ( ): -
diz a verdade: “A falou a verdade” com probabilidade . -
mente: “A mentiu” com probabilidade .
-
-
mente ( ): -
diz a verdade: “A mentiu” com probabilidade . -
mente: “A falou a verdade” com probabilidade .
-
Passo 6
Agora, consideramos que
repete o que
disse, e
repete o que
disse. Cada repetição pode ser verdadeira ou uma mentira independente com as mesmas probabilidades
e
.
Isso significa que a probabilidade de a afirmação “A falou a verdade” ser transmitida corretamente através de cada pessoa é multiplicada por
, e de ser invertida por
.
Passo 7
Vamos calcular a probabilidade final de
reportar “A falou a verdade” corretamente, dado que
falou a verdade (
) ou mentiu (
).
-
Se
falou a verdade ( ):
diz “A falou a verdade” | ) = -
Se
mentiu ( ):
diz “A falou a verdade” | ) =
Passo 8
Usamos o Teorema de Bayes para encontrar
diz “A falou a verdade”
:
Substituindo os valores:
Resposta
A probabilidade de
ter falado a verdade é
.