Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacamse sucessivamente bolas dessa urna de acordo com o seguinte processo: cada vez que uma bola é sacada, ela é devolvida à urna e são acrescentadas mais duas bolas da mesma cor que ela. Determine a probabilidade de:
a primeira bola sacada ter sido branca na certeza de que a segunda bola sacada foi preta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre probabilidade em urnas com bolas brancas e pretas. Temos uma urna com 4 bolas brancas e 6 pretas. A cada vez que tiramos uma bola, colocamos ela de volta e adicionamos mais duas bolas da mesma cor. Precisamos descobrir qual é a probabilidade de a primeira bola tirada ser branca, sabendo que a segunda bola tirada foi preta. Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa probabilidade condicional. Queremos achar $ P(A|B) $, onde:
  • $ A $ é o evento “a primeira bola é branca”.
  • $ B $ é o evento “a segunda bola é preta”.
A fórmula da probabilidade condicional é:
P(A|B)
Ou seja, precisamos achar a probabilidade de ambos os eventos acontecerem ($ P(A \cap B) $) e dividir pela probabilidade de apenas $ B $ acontecer ($ P(B) $).

Passo 3

Vamos calcular $ P(A \cap B) $, que é a probabilidade da primeira bola ser branca e a segunda ser preta.
  • Primeira tirada (A): Temos 4 brancas e 6 pretas, totalizando 10 bolas.
    P(A cap B)
  • Depois de tirar uma branca e adicionar duas brancas:
    A urna agora tem $ 4 + 2 = 6 $ brancas e 6 pretas, totalizando 12 bolas.
  • Segunda tirada (B dado A):
    P(A) = 410 = 0.4
Portanto, a probabilidade conjunta é:
4 + 2 = 6

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(B) $, a probabilidade de a segunda bola ser preta, independente da primeira.
Existem duas possibilidades para a primeira tirada: ser branca ou preta.
  • Caso 1: Primeira bola branca (A):
    Já calculamos que $ P(A) = 0.4 $ e após adicionar duas brancas, $ P(B|A) = 0.5 $.
    P(B)
  • Caso 2: Primeira bola preta (¬A):
    Vamos calcular $ P(¬A) $ e $ P(B|¬A) $.
    P(A) = 0.4
    Depois de tirar uma preta e adicionar duas pretas, a urna tem 4 brancas e $ 6 + 2 = 8 $ pretas, totalizando 12 bolas.
    P(B|A) = 0.5
    Então:
    P(A) times P(B|A) = 0.4 times 0.5 = 0.2
  • Somando os dois casos:
    P(¬A)

Passo 5

Agora que temos $ P(A \cap B) = 0.2 $ e $ P(B) = 0.6 $, podemos usar a fórmula da probabilidade condicional:
P(A cap B) = 0.2

Resposta

A probabilidade de a primeira bola sacada ser branca, dado que a segunda foi preta, é 13 ou aproximadamente 33,3%.

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