Lança-se um dado duas vezes. Considere os eventos:
A: Obtem-se 2 ou 5 no primeiro lançamento.
: A soma das faces obtidas nos dois lançamentos é pelo menos 7.
São
e
independentes?
São
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lançando um dado duas vezes e analisando dois eventos:
- A: Tirar 2 ou 5 no primeiro lançamento.
- B: A soma dos dois lançamentos ser pelo menos 7.
Queremos saber se esses eventos A e B são independentes. Para isso, precisamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a definição de eventos independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade do evento A acontecer, ou seja, tirar 2 ou 5 no primeiro lançamento. Como um dado tem 6 faces, cada número tem a mesma chance de sair. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade do evento B, que é a soma dos dois lançamentos ser pelo menos 7. Para isso, listamos todas as combinações possíveis dos dois lançamentos que somam 7 ou mais:
- (1,6)
- (2,5)
- (2,6)
- (3,4)
- (3,5)
- (3,6)
- (4,3)
- (4,4)
- (4,5)
- (4,6)
- (5,2)
- (5,3)
- (5,4)
- (5,5)
- (5,6)
- (6,1)
- (6,2)
- (6,3)
- (6,4)
- (6,5)
- (6,6)
Totalizando 21 combinações favoráveis. Como há 36 combinações possíveis ao lançar um dado duas vezes:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a probabilidade de A e B acontecerem juntos, ou seja, tirar 2 ou 5 no primeiro lançamento e a soma ser pelo menos 7. Vamos considerar separadamente quando o primeiro lançamento é 2 e quando é 5.
-
Primeiro lançamento é 2:
- Para a soma ser pelo menos 7, a segunda face precisa ser 5 ou 6.
- Combinações: (2,5), (2,6) → 2 possibilidades.
-
Primeiro lançamento é 5:
- Para a soma ser pelo menos 7, a segunda face precisa ser 2, 3, 4, 5 ou 6.
- Combinações: (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) → 5 possibilidades.
Total de combinações favoráveis para A e B: 2 + 5 = 7.
Portanto:
Passo 5
Para verificar se A e B são independentes, devemos ver se:
Calculando o lado direito:
Comparando com P(A ∩ B):
Resposta
Sim, os eventos A e B são independentes porque $ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $.