Lança-se um dado duas vezes. Considere os eventos:

A: Obtem-se 2 ou 5 no primeiro lançamento.

B : A soma das faces obtidas nos dois lançamentos é pelo menos 7.
São A e B independentes?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lançando um dado duas vezes e analisando dois eventos:
  • A: Tirar 2 ou 5 no primeiro lançamento.
  • B: A soma dos dois lançamentos ser pelo menos 7.
Queremos saber se esses eventos A e B são independentes. Para isso, precisamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a definição de eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade do evento A acontecer, ou seja, tirar 2 ou 5 no primeiro lançamento. Como um dado tem 6 faces, cada número tem a mesma chance de sair. Portanto:
P(A) = número de resuúáú

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade do evento B, que é a soma dos dois lançamentos ser pelo menos 7. Para isso, listamos todas as combinações possíveis dos dois lançamentos que somam 7 ou mais:
  • (1,6)
  • (2,5)
  • (2,6)
  • (3,4)
  • (3,5)
  • (3,6)
  • (4,3)
  • (4,4)
  • (4,5)
  • (4,6)
  • (5,2)
  • (5,3)
  • (5,4)
  • (5,5)
  • (5,6)
  • (6,1)
  • (6,2)
  • (6,3)
  • (6,4)
  • (6,5)
  • (6,6)
Totalizando 21 combinações favoráveis. Como há 36 combinações possíveis ao lançar um dado duas vezes:
P(B) = 2136 = 712

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a probabilidade de A e B acontecerem juntos, ou seja, tirar 2 ou 5 no primeiro lançamento e a soma ser pelo menos 7. Vamos considerar separadamente quando o primeiro lançamento é 2 e quando é 5.
  • Primeiro lançamento é 2:
    • Para a soma ser pelo menos 7, a segunda face precisa ser 5 ou 6.
    • Combinações: (2,5), (2,6) → 2 possibilidades.
  • Primeiro lançamento é 5:
    • Para a soma ser pelo menos 7, a segunda face precisa ser 2, 3, 4, 5 ou 6.
    • Combinações: (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) → 5 possibilidades.
Total de combinações favoráveis para A e B: 2 + 5 = 7.
Portanto:
P(A cap B) = 736

Passo 5

Para verificar se A e B são independentes, devemos ver se:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Calculando o lado direito:
P(A) times P(B) = 13 times 712 = 736
Comparando com P(A ∩ B):
736 = 736

Resposta

Sim, os eventos A e B são independentes porque $ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $.

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