Selecionam-se ao acaso dois pontos em uma circunferência. Qual a probabilidade da corda determinada por esses pontos ter comprimento maior do que o lado do triângulo equilátero inscrito na circunferência?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício diz que selecionamos dois pontos aleatórios numa circunferência e queremos saber qual é a probabilidade da corda formada por esses pontos ter um comprimento maior que o lado de um triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência.
Conteúdo envolvido: Probabilidade e geometria, especificamente sobre círculos, cordas e triângulos equiláteros.
O que vamos precisar: Entender como o comprimento de uma corda está relacionado ao ângulo central correspondente e aplicar conceitos básicos de probabilidade para calcular a chance desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar. Imagine um círculo com raio $ r $. Um triângulo equilátero inscrito nesse círculo terá seus três vértices igualmente espaçados, formando três cordas de mesmo comprimento.
Teoria aplicada: Em um círculo, o comprimento de uma corda está relacionado ao ângulo central que ela subtende. A fórmula para o comprimento da corda é:
onde $ \theta $ é o ângulo central em radianos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o comprimento do lado do triângulo equilátero. Um triângulo equilátero tem todos os ângulos internos iguais a $ 60^\circ $. Como cada lado do triângulo corresponde a um ângulo central de $ 120^\circ $ (porque $ 3 \times 120^\circ = 360^\circ $), usamos a fórmula da corda:
Então, o comprimento do lado do triângulo equilátero é $ r\sqrt{3} $.
Passo 4
Queremos saber quando a corda formada por dois pontos aleatórios tem comprimento maior que $ r\sqrt{3} $. Usando a fórmula da corda:
Dividindo ambos os lados por $ r $ (que é positivo, então a desigualdade não muda):
Dividindo por 2:
Passo 5
Sabemos que $ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Então:
Isso acontece quando:
Então, a corda terá comprimento maior que o lado do triângulo equilátero quando o ângulo central $ \theta $ for maior que $ 120^\circ $.
Passo 6
Agora, vamos calcular a probabilidade disso acontecer. Em um círculo completo, o ângulo central pode variar de $ 0^\circ $ a $ 180^\circ $ (já que ângulos maiores de $ 180^\circ $ correspondem a menores ângulos no outro sentido).
A condição é que $ \theta > 120^\circ $. Então, o intervalo favorável é de $ 120^\circ $ a $ 180^\circ $, que tem uma amplitude de:
Passo 7
A probabilidade é a razão entre o intervalo favorável e o total de possibilidades (que é $ 180^\circ $):
Resposta
A probabilidade de que a corda formada por dois pontos aleatórios na circunferência seja maior que o lado do triângulo equilátero é de
.