Dispondo dos algarismos 0,1,2,3,4,5 e 6 , determine:
a quantidade de números pares de três algarismos distintos que podemos formar;

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de números de três algarismos distintos, formados com os dígitos \{0,1,2,3,4,5,6\}, que sejam pares. O conteúdo é permutação com restrições: o primeiro dígito não pode ser zero e o último dígito (unidade) deve ser par.

Passo 2

Representamos o número como D_1D_2D_3, onde D_1\neq0, D_3 é par e todos os D_i são distintos. Os dígitos pares disponíveis são
\{0,2,4,6\}.
Vamos tratar separadamente o caso D_3=0 e o caso D_3\in\{2,4,6\}.

Passo 3

Caso D_3=0:
O dígito das centenas D_1 pode ser escolhido em \{1,2,3,4,5,6\}, ou seja, 6 possibilidades. Após fixar D_1, restam 5 dígitos disponíveis para D_2. Portanto, o número de números neste caso é
6 \times 5 = 30.

Passo 4

Caso D_3\in\{2,4,6\}:
Primeiro escolhemos D_3 em 3 possibilidades.
Em seguida, D_1 não pode ser zero nem igual a D_3, logo escolhemos D_1 em 5 possibilidades (entre \{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{D_3\}).
Finalmente, para D_2 restam 7-2=5 dígitos disponíveis (todos exceto D_1 e D_3), podendo incluir o zero se ainda não usado.
Assim, o total neste caso é
3 \times 5 \times 5 = 75.

Passo 5

Somando os dois casos, a quantidade total de números pares de três algarismos distintos é
30 + 75 = 105.

Resposta

105

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