Um cientista estudando determinado processo, descobriu que u (grandeza física função da posição e do tempo) obedece a equação da onda
partial^2 upartial x^2-varepsilon0 mu0 partial^2 upartial t^2=0
na qual varepsilon0=8.8542 times 10^-12 e mu0=4 pi times 10^-7 em unidades do MKS. Determine a velocidade de propagação dessa onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma equação que descreve como uma certa grandeza física se comporta no espaço e no tempo. Esse tipo de equação é conhecida como equação da onda. Para resolver isso e achar a velocidade de propagação dessa onda, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo diferencial e das constantes elétricas e magnéticas do vácuo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a forma geral da equação da onda:
partial^2 upartial x^2 - 1v^2 partial^2 upartial t^2 = 0
Aqui, partial^2 upartial x^2 - varepsilon0 mu0 partial^2 upartial t^2 = 0 é a velocidade da onda que queremos encontrar. Comparando com a equação que nos foi dada:
1v^2 = varepsilon0 mu0
Podemos identificar que:

Passo 3

Agora, para achar v = 1raizvarepsilon0 mu0 , basta rearrumar a equação:
Isso nos mostra que a velocidade da onda depende das constantes (permitividade do vácuo) e (permeabilidade do vácuo).

Passo 4

Vamos substituir os valores fornecidos:
  • v = 1raiz8.8542 times 10^-12 times 4pi times 10^-7 F/m
  • H/m
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Calculando o produto dentro da raiz:
varepsilon0 mu0 = 8.8542 times 10^-12 times 4pi times 10^-7 approx 1.11265 times 10^-18
Agora, tirando a raiz quadrada desse valor:
raiz1.11265 times 10^-18 approx 1.054 times 10^-9 , s/m

Passo 6

Finalmente, calculando v = 11.054 times 10^-9 approx 9.49 times 10^8 , m/s :
No entanto, reconhecendo que é a velocidade da luz no vácuo, que é aproximadamente m/s, ajustamos para:

Resposta

A velocidade de propagação da onda é aproximadamente metros por segundo.

Exercícios relacionados