Um condutor cilíndrico infinito de raio
possui densidade superficial de cargas igual a
. Calcule o módulo do campo elétrico em função da distância y ao centro do cilindro para pontos no exterior e no interior do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um condutor cilíndrico infinito com raio $ R $ e uma densidade superficial de carga $ \sigma
E $) em função da distância $ y $ do centro do cilindro, tanto para pontos que estão fora quanto dentro do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um conceito básico da eletricidade: Lei de Gauss. Ela é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos quando temos alta simetria no problema, como é o caso aqui com o cilindro infinito.
Passo 3
A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 $). Matematicamente, isso é escrito como:
Passo 4
Vamos aplicar essa lei ao nosso cilindro. Vamos escolher uma superfície gaussiana que é um cilindro coaxial com o condutor, com raio $ y $ e comprimento $ L $. Dependendo se $ y < R $ ou $ y > R $, vamos ter casos diferentes.
Passo 5
Caso 1: Ponto fora do cilindro ($ y > R $)
Aqui, toda a carga está na superfície do cilindro. A carga total dentro da nossa superfície gaussiana é:
Passo 6
Agora, pelo princípio da simetria, o campo elétrico $ \vec{E} $ tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é perpendicular à superfície. Então, o fluxo elétrico é:
Passo 7
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando $ 2\pi L $ de ambos os lados:
Então, o campo elétrico é:
Passo 8
Caso 2: Ponto dentro do cilindro ($ y < R $)
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Isso acontece porque as cargas se distribuem na superfície e não há campo dentro.
Passo 9
Portanto, resumindo:
- Para $ y > R $:
- Para $ y < R $:
Resposta
O módulo do campo elétrico em função da distância $ y $ ao centro do cilindro é dado por: