Mostre que a taxa média com que a energia é transportada em uma corda por uma onda mecânica de amplitude A e frequência f é
P=2 \pi^{2} \mu v f^{2} A^{2},

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a taxa média de energia (potência média) transportada por uma onda transversal estacionária que se propaga numa corda é
P=2\pi^{2}\,\mu\,v\,f^{2}\,A^{2}.
Informações e notações dadas (ou implícitas) que vamos usar:
  • \,A\, é a amplitude da onda (deslocamento máximo da corda).
  • \,f\, é a frequência da onda (número de oscilações por segundo).
  • \,\mu\, é a densidade linear de massa da corda (massa por unidade de comprimento).
  • \,v\, é a velocidade de propagação da onda ao longo da corda.
  • A expressão final envolve também variáveis usuais de onda como o número de onda \,k\, e a frequência angular \,\omega\,; vamos relacioná-las com \,f\, e \,v\, ao longo da resolução.

Passo 2

Escolhemos uma forma simples e padrão para a onda transversal: uma onda senoidal viajante para a direita. Escrevemos a função que dá o deslocamento vertical da corda em posição \,x\, e tempo \,t\,:
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
Explicando cada símbolo:
  • \,A\, é a amplitude (já mencionada).
  • \,k\, é o número de onda, definido por \,k=\dfrac{2\pi}{\lambda}\,, onde \,\lambda\, é o comprimento de onda.
  • \,\omega\, é a frequência angular, definida por \,\omega=2\pi f\,.
  • A relação entre \,k\,,\omega e a velocidade de fase \,v\, é \,v=\dfrac{\omega}{k}\, (ou equivalentemente \,\omega=kv).

Passo 3

Agora precisamos da expressão da potência instantânea que atravessa a corda numa seção em \,x. A potência instantânea (taxa instantânea de trabalho) que a tensão da corda transmite através da seção em \,x é o produto da componente vertical da força de tração naquele ponto pela velocidade vertical do fio naquele ponto. Para pequenas inclinações a componente vertical da tração é aproximadamente -T\,\dfrac{\partial y}{\partial x}, onde \,T\, é a tensão uniforme na corda. A velocidade vertical é \dfrac{\partial y}{\partial t}. Portanto a potência instantânea em \,x é
P(x,t) = -T\left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right).
Observação didática: o sinal negativo vem da convenção de direção da força; nós nos interessamos na média da potência transportada (módulo sentido positivo), e a fórmula acima dá corretamente a potência instantânea incluindo o sinal.

Passo 4

Calculemos as derivadas temporais e espaciais de \,y(x,t). Usando \,y(x,t)=A\sin(kx-\omega t):
\dfrac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\cos(kx-\omega t),
\dfrac{\partial y}{\partial x} = A k \cos(kx-\omega t).
Multiplicando e substituindo em P(x,t) temos
P(x,t) = -T\left(Ak\cos(kx-\omega t)\right)\left(-A\omega\cos(kx-\omega t)\right).
Simplificando os sinais:
P(x,t) = T\,A^{2}\,k\,\omega\,\cos^{2}(kx-\omega t).

Passo 5

Queremos a potência média transportada pela onda ao longo do tempo (média temporal em um ponto fixo). Tomamos a média temporal de P(x,t) sobre um período \,T_{\text{per}}=\dfrac{2\pi}{\omega}. A média temporal de \cos^{2} é \langle \cos^{2}\rangle = \dfrac{1}{2}. Logo a potência média \overline{P} é
\overline{P} = T\,A^{2}\,k\,\omega\,\left\langle \cos^{2}(kx-\omega t)\right\rangle = T\,A^{2}\,k\,\omega\cdot\dfrac{1}{2}.
Portanto
\overline{P} = \dfrac{1}{2}\,T\,A^{2}\,k\,\omega.

Passo 6

Agora expressamos k e \omega em termos de f e v. Temos \,\omega=2\pi f\, e \,k=\dfrac{\omega}{v}=\dfrac{2\pi f}{v}. O produto k\omega vale
k\omega = \omega\cdot\dfrac{\omega}{v}=\dfrac{\omega^{2}}{v}=\dfrac{(2\pi f)^{2}}{v}=\dfrac{4\pi^{2} f^{2}}{v}.
Substituindo em \overline{P} obtemos
\overline{P} = \dfrac{1}{2}\,T\,A^{2}\,\dfrac{4\pi^{2} f^{2}}{v} = 2\pi^{2}\,\dfrac{T}{v}\,A^{2}\,f^{2}.

Passo 7

Falta relacionar \dfrac{T}{v} com \mu e v. A velocidade de propagação de ondas transversais numa corda tensa é dada pela relação (resultado padrão da equação da onda para corda)
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
Dessa relação segue que T=\mu v^{2} e, portanto,
\dfrac{T}{v}=\dfrac{\mu v^{2}}{v}=\mu v.
Substituindo em \overline{P} obtemos finalmente
\overline{P}=2\pi^{2}\,\mu\,v\,f^{2}\,A^{2}.

Resposta

P=2\pi^{2}\,\mu\,v\,f^{2}\,A^{2}

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