Um cilindro de 0,150 \mathrm{~m}^{3} de volume contém 22,7 \mathrm{~kg} de propano e está exposto ao sol. Um manômetro mostra uma pressão manométrica de 4790 kPa . Qual é a temperatura do propano no cilindro? Use a equação de van der Waals.

Passo 1

O enunciado nos dá um cilindro de volume \!0,150\:\mathrm{m^3} contendo 22,7\:\mathrm{kg} de propano e exposto ao sol, com pressão manométrica de 4790\:\mathrm{kPa}. Pede-se a temperatura no interior, usando a equação de van der Waals, que para n mols e volume V é
\bigl(P + a\,\tfrac{n^2}{V^2}\bigr)\,(V - n\,b) = n\,R\,T.
Vamos precisar da massa molar do propano, dos mols, das constantes a e b em unidades SI, de R e converter a pressão manométrica em pressão absoluta.

Passo 2

Calcular o número de mols n. A massa molar do propano \mathrm{C_3H_8} vale
M = 3\times12{,}01 + 8\times1{,}008 = 44{,}10\:\mathrm{g/mol} = 44{,}10\times10^{-3}\:\mathrm{kg/mol}.
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n = \frac{22{,}7\:\mathrm{kg}}{44{,}10\times10^{-3}\:\mathrm{kg/mol}} \approx 514{,}5\:\mathrm{mol}.

Passo 3

Definir as constantes de van der Waals para propano (valores típicos):
a = 8{,}08\:\mathrm{bar\;L^2/mol^2}, \quad b = 0{,}091\:\mathrm{L/mol},
que em unidades SI viram
a = 8{,}08\times10^5\:\mathrm{Pa}\,\bigl(10^{-3}\:\mathrm{m^3}\bigr)^2 = 0{,}808\:\mathrm{Pa\;m^6/mol^2}, \quad b = 0{,}091\times10^{-3}\:\mathrm{m^3/mol} = 9{,}1\times10^{-5}\:\mathrm{m^3/mol}.
A pressão absoluta é
P = P_{\rm man} + P_{\rm atm} = 4790\times10^3\:\mathrm{Pa} + 1{,}013\times10^5\:\mathrm{Pa} =4{,}8913\times10^6\:\mathrm{Pa}.
E a constante universal dos gases é R = 8,314\:\mathrm{J/(mol\,K)}.

Passo 4

Isolando T na equação de van der Waals:
T = \frac{\bigl(P + a\,\tfrac{n^2}{V^2}\bigr)\,(V - n\,b)}{n\,R}.
Calculemos cada termo numericamente:
\frac{n}{V} = \frac{514{,}5}{0,150} = 3430\:\mathrm{mol/m^3}, \quad a\,\frac{n^2}{V^2} = 0{,}808\times(3430)^2 = 9{,}50\times10^6\:\mathrm{Pa},
P_{\rm eff} = P + a\,\frac{n^2}{V^2} =4{,}8913\times10^6 + 9{,}50\times10^6 =1{,}4391\times10^7\:\mathrm{Pa},
V - n\,b = 0,150 - 514{,}5\times9{,}1\times10^{-5} =0,150 - 0,0468 =0,1032\:\mathrm{m^3},
\text{numerador} = 1{,}4391\times10^7 \times 0,1032 =1{,}486\times10^6\:\mathrm{J}, \quad n\,R = 514{,}5\times8,314 = 4{,}278\times10^3\:\mathrm{J/K}.
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T = \frac{1{,}486\times10^6}{4{,}278\times10^3} \approx348\:\mathrm{K}.

Resposta

A temperatura do propano no cilindro é aproximadamente 348\:\mathrm{K} (cerca de 75^\circ\mathrm{C}).

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