Um cilindro com batentes, fechado por um pistão de massa mp=50 kg e seção A=0,1 m^2, que pode se mover livremente e sem atrito, contém uma certa quantidade de gás ideal monoatómico. O volume ocupado pelo gás quando o pistão atinge os batentes é VT=1,0 m^3. No estado inicial, o gás ocupa um volume V1=VT5 e está em equilíbrio, a uma temperatura T1=410 K. O gás é aquecido quase estaticamente por meio de uma máquina térmica que extrai calor de um reservatório térmico à temperatura TF=1100 K e o libera para o sistema pistão-cilindro, conforme mostrado na figura. O processo termina quando a máquina térmica não consegue mais extrair trabalho do sistema. Sabe-se que o número de ciclos que a máquina térmica completa durante o processo descrito é inteiro e que produz um trabalho de |W MT |=90 kJ. O gás só pode trocar calor com o motor térmico.
Determine a pressão, o volume e a temperatura final do gás.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um cilindro fechado por um pistão de massa mp = 50 kg e área A = 0,1 m², sem atrito. Quando o pistão bate nos batentes o volume é VT = 1,0 m³. No início o gás monoatômico (ideal) está em equilíbrio com volume V1 = VT/5 e temperatura T1 = 410 K, aplicando a pressão de repouso do pistão. Aí uma máquina térmica retira calor de um reservatório a TF = 1100 K e rejeita calor só para o gás (quase estaticamente), produzindo um trabalho total de 90 kJ até que não dá mais pra extrair trabalho. A tarefa é achar a pressão, o volume e a temperatura finais do gás.
Conteúdo: termodinâmica de gás ideal, 1.ª lei, conceito de máquina térmica e regime isobárico (pistão livre).

Passo 2

Como o pistão não tem atrito e só sofre o peso mp·g sobre área A, a pressão interna do gás é constante e vale
P = mp,gA,
Como o gás vai se expandir livremente (sem choque) até que a máquina térmica não consiga mais extrair trabalho, esse “fim” só ocorre quando a temperatura do gás iguala a temperatura do reservatório quente TF. Por quê?
– Uma máquina térmica (no limite reversível) só produz trabalho se houver diferença de temperaturas entre fonte quente (TF) e fonte fria (o nosso gás, a Tgas). Quando Tgas → TF, a eficiência η = 1 – Tgas/TF vai a zero e não sai mais trabalho.
Logo, a temperatura final do gás é
Tf = TF = 1100 K,

Passo 3

Com P constante e sabendo T1 e V1, para um gás ideal vale
P,V1 = n,R,T1 longrightarrow n,R = P,V1T1,
Na expansão isobárica até T_f, a relação entre volume e temperatura é
$$\frac{V_f}{V_1} = \frac{T_f}{T_1}
\quad\Longrightarrow\quad
V_f = V_1,\frac{T_f}{T_1},. $$

Passo 4

Agora é só substituir:
  1. Pressão:$$P = \frac{m_p,g}{A} = \frac{50;kg\times9{,}8;m/s2}{0{,}1;\text{m}2}= 4900;Pa\approx4{,}9\times10^3;Pa,. P = mp,gA = 50;kgtimes9,8;m/s^20,1;m^2 = 4900;Paapprox4,9times10^3;Pa, V_1 = \frac{V_T}{5} = \frac{1{,}0}{5} = 0{,}20;m^3,. $$
  2. Volume final: V1 = VT5 = 1,05 = 0,20;m^3,
  3. Temperatura final já vimos: Vf = V1,TfT1 = 0,20,1100410 approx0,20times2,683 approx0,537;m^3,

Resposta

Pressão final P_f = 4,9 × 10^3 Pa;
Volume final V_f ≃ 0,54 m³;
Temperatura final T_f = 1100 K.

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